判定窗口一道你算得出答案的算术题

窗口是以帧写死的

游戏判定你有没有打中，靠的是一个时间窗口：你的输入时刻和目标时刻相差多少以内算命中。

这个窗口在代码里几乎总是以帧为单位写死的，因为游戏的整个逻辑循环就是按帧跑的。60 帧的机器上，一帧 16.67ms。于是判定档位天然是 16.67 的整数倍：

# 本书统一使用的判定口径（不是任何一款游戏的实测值）

  完美   ±2 帧  =  ±33.3ms
  还行   ±4 帧  =  ±66.7ms
  勉强   ±6 帧  =  ±100ms

# 对照：常见音游的「最高档」大致在 ±1 到 ±3 帧之间

请先记住 16.67ms 这个数。它是这本书里出现频率最高的常数，也是你和游戏之间那把尺子的最小刻度。比一帧更细的准确度，游戏根本看不见。

同一个窗口，在不同速度下不是一回事

「±4 帧算宽还是窄」这个问题没有答案，除非你说清楚速度。因为窗口是绝对时间，而格子是相对时间：

看最后一列 —— 它是「还行」这一档的全宽（±4 帧，也就是 8 帧共 133.3ms）除以一个十六分格。在 120 BPM 以上，这个比值超过了 100%：判定窗比格子还宽。这意味着一件相当微妙的事：

命中率是一个积分

现在做这一章真正的事情。

一个人反复去够同一个时间点，误差近似服从正态分布 —— 中心在你的偏移上，宽度是你的抖动。判定窗口是一个区间。于是「命中」的概率，就是这个正态分布落在这个区间里的面积：

命中率 = Φ((窗 − 偏移) / 抖动) − Φ((−窗 − 偏移) / 抖动)

    Φ 是标准正态的累积分布函数。
    引擎用 Abramowitz & Stegun 7.1.26 算 erf，误差 1.5e-7 ——
    远比这件事需要的精度高。

    三个输入：窗口有多宽（游戏定的）
              你偏了多少（可以校准掉）
              你抖了多少（只有这一项要练）

把一组具体的数代进去。假设窗口 ±60ms（大约 3.6 帧），你偏早 30ms，抖动 45ms：

窗口 ±60ms 之下

    偏 −30ms / 抖 45ms  →  命中 72.5%
    偏   0ms / 抖 45ms  →  命中 81.8%     ← 什么都没练，只把偏移减掉
    偏   0ms / 抖 30ms  →  命中 95.4%     ← 再把手练稳

    第二行减第一行 = 白拿 9.3 个百分点。

「全中」的概率涨了四百倍

上面那 9.3 个百分点，听起来还算不上惊人。但节奏天国的最高评价靠的不是平均命中率，而是一整段不出错。

「连续 n 个全中」是一串独立事件的连乘。单次概率的一点点差别，被连乘放大之后会变得非常夸张：

50 个音符的一段

    偏 −30ms：  期望中 36.2 个    全中概率 1.02e-7
    偏   0ms：  期望中 40.9 个    全中概率 4.23e-5

    全中概率涨了 414 倍。

    换句话说：
    校准之前，你大约要打一千万遍才碰上一次全中；
    校准之后，两万多遍就有一次。
    还是很难 —— 但这已经是「有可能」和「不可能」的区别。

这个倍数会随段落长度继续放大。段落越长，偏移的伤害越指数级 —— 而这恰恰是那些长 Remix 关卡为难人的机制之一。

成绩单长什么样

再看得细一点。同样是偏 −30ms、抖 45ms，把三档判定拆开：

注意「打飞」那一栏：6.2% 降到 2.6%，少了一半以上。这一栏是最要命的，因为在很多关卡里，打飞不只是少拿分 —— 它还会打断你的节奏感，让你接下来几拍都跟着崩（第 21 章专门处理这件事）。

那 6.2% 的打飞，才是真正的敌人

在算总账之前，有必要说清楚这四档的价值并不是线性的。

「完美」和「还行」之间差的是分数；「勉强」和「打飞」之间差的是你还在不在这首歌里。

前三档虽然扣分，但它们都有一个共同点：你打的那一下，落在了正确的音符上。身体收到的反馈是「我在这个位置动了手，游戏认了」——这是一次正确的经验。

打飞不一样。打飞之后，你会有一个短暂的失重期：你不确定自己刚才错在哪，也不确定下一个音符在哪。这个失重期通常比那一下本身长得多，第 21 章会专门量它 —— 一次失误之后，你要用几拍才能回到判定窗里。对很多人来说，答案是三到五拍，也就是一次打飞的实际代价，是三到五个音符。

把这件事和上面那张成绩单放在一起看：校准把打飞率从 6.2% 降到 2.6%，看起来只少了 3.6 个百分点；但如果每次打飞的实际代价是四个音符，那么在一段 50 个音符的谱面里，这 3.6% 意味着少崩掉将近 7 个音符。这已经不是「多拿一点分」，这是「这一关过不过得去」。

自己拨一遍

下面这台计算器把上面全部的算术摆开了。请把「你的抖动」那根滑杆先拨到你在第 2 章量出来的值，再去动其他滑杆 —— 你会立刻看出哪一根最值钱。

几个值得你亲手验证的现象：

• 把速度拉快，窗口那一行不变，但「一格」在缩。窗口没变窄，是格子变窄了 —— 难度的来源不是判定，是密度。
• 抖动很小的时候，再压抖动几乎不涨分。抖 15ms 的人已经差不多满了，他该去练的是别的东西（比如认错格）。
• 抖动很大的时候，校准偏移的收益反而变小。因为分布本来就摊得很宽，挪一点点中心没什么用。偏移的收益，在你越稳的时候越大。

换一个更有感觉的说法：你平均能连几个

百分比这个单位有点抽象。把它换成音游玩家真正在意的那个量 —— 断连之前平均能连几个 —— 会立刻具体起来。

如果每个音符的「不打飞」概率是 p，那么第一次打飞之前的期望连击数是 p / (1 − p)：

从「打飞率」到「平均连击」

    打飞率 6.2%（校准之前）  →  平均连 15 个就断一次
    打飞率 2.6%（校准之后）  →  平均连 37 个才断一次

    打飞率 1.0%             →  平均连 99 个
    打飞率 0.5%             →  平均连 199 个

    注意这条曲线的形状：打飞率每减半，平均连击就翻倍。
    到了后期，进步会以「连击长度成倍增长」的形式出现，
    而不是以「命中率涨几个百分点」的形式出现 ——
    后者看起来毫无变化，前者却是天壤之别。

这解释了一件让很多人沮丧的事：你在中后期的进步，从命中率上完全看不出来。从 97.4% 到 99.0%，百分比只动了 1.6 个点，听起来像没进步；可你的平均连击从 37 涨到了 99，翻了将近三倍，实际体验完全不是一回事。

所以如果你想看到自己在变强，别盯命中率，盯连击长度，或者盯第 2 章那个抖动数。这两个量对后期的进步敏感得多。

早和晚，为什么不是对称的

上面所有的算术都假设你的误差是一个对称的正态分布。实际打起来，有一个方向会更常见。

第 1 章那个 demo 多半已经让你看到了：跟着稳定节拍敲的时候，人的偏移常常是负的 —— 你敲在拍之前。这不是失误，这是预判系统的正常输出（第 17 章会量它随速度怎么变）。

这件事有个实际后果：大多数人的「打飞」是偏向「太早」那一侧的。而人对这两种失误的主观感受完全不同 —— 打晚了你会明确感到「我慢了」，打早了却常常感觉不到，因为声音还没响，你没有参照物。

于是「太早」这一类失误是有系统性偏见的：它更常发生，也更不容易被自己察觉。这正是校准（第 5 章）值钱的地方 —— 它专门对付一个你自己感觉不到的常数。

为什么游戏不肯告诉你毫秒

看到这里你可能会想：既然这些数这么有用，为什么游戏不直接报给我？

因为对它想做的事来说，报毫秒会帮倒忙。

节奏天国想让你进入的状态，是「跟着音乐动」；而一旦屏幕上开始滚动毫秒数，你的注意力就会从听转到看 —— 你会开始盯着那个数字做微调，而那正是第 1 章说的那条注定超时的通路。报毫秒会把一个听觉游戏变成一个视觉反馈游戏。

所以它的选择是合理的：玩的时候不要毫秒，练的时候需要毫秒。这本书补的就是后一半 —— 你在这里量清楚，回去照样闭着眼睛玩。

接下来

这一章假设了一件事：你的误差中心在哪里，是可以被搬动的。

但在搬它之前，得先搞清楚那个偏移是从哪来的。它有一部分是你的（你的身体习惯提前多久出发），还有一部分根本不是你的 —— 是屏幕、是音频输出、是那条你以为没有延迟的信号路径。

下一章先处理一个更基础的问题：你到底是在用耳朵打，还是在用眼睛打。因为这两条通路的延迟完全不同，而混着用是最糟的一种。

这个顺序不能颠倒。校准的前提是「你的偏移是一个稳定的常数」；而如果你一会儿跟眼睛、一会儿跟耳朵，你的偏移根本不是常数 —— 它会在两个值之间跳。对一个跳来跳去的东西做校准，等于没做。所以必须先把通路固定下来，才谈得上把它上面的那个常数减掉。