同一份数据，三个答案
前面十一章讲的所有东西，在这一章一次性摆到桌上。同一份数据，同一个模型，四种控制变量的选法，四个互相矛盾的结论。而我们手上有标准答案——因为这个世界是我写的。
一个真实效应是 +5.00 的处理。你拿到两万人的观察数据，跑回归。下面哪一组数字，是「换不同的控制变量」能得到的？
这一章会给出四个具体的数字。
把牌摊开：这台世界机器长什么样
先看真相。这四行就是整个世界，没有别的了：
C := 噪声 # 资历，老手为正 X := 抛一枚偏心硬币，偏心度 = −1.2 × C # 老手不用学习计划 Y := 60 + 【5】 × X + 9 × C + 噪声 # ← 真效应就是这个 5 S := 抛硬币，偏心度 = 2.0 × X + 0.30 × Y # 留了评价（对撞机）
四个变量在图上的角色：
- C 资历——混淆。它同时影响 X（老手不用）和 Y（老手分高）。一负一正。
- X 有没有开学习计划——处理。
- Y 三个月后的测评分——结果。
- S 有没有留评价——对撞机。用了功能的人更爱留评价，分高的人也更爱留评价。
真效应写在第三行里：5。而引擎用两种互相独立的办法把它算出来，两个数必须对上：
路径规则（解析：沿有向路径把系数乘起来再相加） 5.0000 真的跑两遍 do(X=1) / do(X=0)（蒙特卡洛） 5.0000
第二个数是真的做了两次干预模拟：用同一个随机种子跑两遍，一遍所有人都被拨成 X=1，一遍都被拨成 X=0，取 Y 的均值之差。这是第 9 章那一刀，真的落了下来。
四个答案
两个开关，四种组合。请全部试一遍：
往回归里放什么 估计值 离真值 5.00 ────────────── ──────── ─────────── 什么都不放 −3.3185 −8.32 ← 连符号都反了 只放 C +4.9632 −0.04 ← 对 C 和 S 都放 +3.3061 −1.69 ← 多控制一个，从对变错 只放 S −4.8146 −9.81 ← 最惨的一种
数据一个字节都没变。两万行，四列，同一个文件。变的只是你在写模型时决定放哪几个变量名。
四个数字对应四种在现实中真实存在的分析：
- −3.32：直接对比「用了的人」和「没用的人」。这是最常见的做法，也是第 1 章那个「功能有害」结论的来源。
- +4.96：控制了唯一该控制的那个变量。这是唯一对的。
- +3.31：控制了 C，做对了一半；又顺手加了个 S，因为「留评价的用户和不留评价的用户很不一样，控制一下更严谨」。这个「更严谨」的动作，让估计从 4.96 掉到 3.31。
- −4.81：只控制了 S。比什么都不控制还差。
「该往回归里放哪些变量」这个决定，数据本身给不了你答案。
四个模型的拟合优度、显著性、残差诊断，全都长得很正常。没有任何统计指标会告诉你第三个模型比第二个差——因为「差」的定义在数据之外。
给得了答案的只有一样东西：那张图。而图是你带进来的知识。
调整公式，逐项拆开
上面那个 +4.96 是怎么来的？回归是它的一种实现，但更基本的形式是第 10 章给过的调整公式：
P(Y | do(X=x)) = Σ_z P(Y | X=x, Z=z) × P(Z=z)
───────────────── ────────
在这一层里比 这一层在【总体】中占多大
三步：
- 分层：把所有人按 Z（这里是资历 C）分成若干层。
- 层内比较：在每一层内部，比 X=1 和 X=0 的人的 Y。层内不再有混淆——因为这一层里所有人的 C 都差不多。
- 按总体权重加权平均：注意权重是
P(Z=z)，是这一层在整个人群中的占比，不是在处理组或对照组中的占比。这一步正是在模拟「把所有人都拨过去」。
用这台机器的数据真跑一遍，把 C 切成不同层数：
层数 分层调整的估计值 离真值 5.00 ───── ──────────────── ─────────── 2 1.9533 −3.05 5 4.0598 −0.94 10 4.5569 −0.44 20 4.7806 −0.22 50 4.8811 −0.12 100 4.8913 −0.11 # 单调收敛。层分得越细，残余混淆越小。
这张表是理解「调整」的最好材料：分层不够细，层内还剩混淆。只分两层的时候，每一层内部资历的跨度还很大，层内的比较仍然被污染，于是只估到 1.95。
而这也暴露了分层法的死穴：层越细，每层里的人越少。如果某一层里全是处理组、没有对照组，这一层就没法比。变量一多，这个问题会迅速失控——两个各 10 层的变量就是 100 层，三个就是 1000 层。这个诅咒的名字叫维数灾难，也正是第 16 章倾向得分要解决的问题。
把 C 放进回归 Y ~ X + C，等价于假设「层内的效应处处相同，而且 Y 随 C 线性变化」，然后用这个假设把所有层的信息合起来估。
好处：不需要分层，不怕维数灾难，样本利用率高。
代价：如果那个线性假设错了，估计就偏了，而且你不容易发现。
这本书这台机器里 Y 对 C 恰好就是线性的，所以回归给出的 4.9632 比 100 层分层的 4.8913 还准。但那是因为我把模型写对了——现实里你不知道自己写没写对，这也是第 17 章双重稳健要处理的事。
这一章的场景不是虚构的。「上线一个功能，看用了的人和没用的人指标差多少」——这是每一家有数据团队的公司每天都在做的事，而它默认得到的就是那个 −3.32。
更值得警惕的是那个 +3.31。因为得到这个数的人，是四个人里最努力的那个：他知道要控制混淆（放了 C），也注意到了留评价的用户和别人不一样（放了 S）。他做的每一步在直觉上都是「更严谨」。
而结果是：他比只做了一半功课的人错得更多。这不是运气问题，这是因为「更多控制 = 更严谨」这条直觉本身是错的。
能救他的只有一件事：在写代码之前，先花五分钟画一张图，然后问「S 是在处理之前还是之后发生的」。这个问题一问，S 就出局了。
上面那个加了 S 的模型，R² 比只加 C 的模型更高——因为 S 确实和 Y 相关，加进去当然更能预测 Y。它预测得更好，同时因果估计更差。
这是预测和因果最锋利的分界线：预测追求的是「用手上有的东西尽量拟合 Y」，因果追求的是「让 X 的系数等于结构系数」。这两个目标经常打架，而所有现成的模型选择工具都站在预测那一边。
推论：不要用 AIC、LASSO、逐步回归或者特征重要性来挑因果模型的控制变量。它们会挑出预测力强的变量，而对撞机往往预测力很强。
C从 −5 到 +5 都有可能，包括符号相反的。
四个真实数字：−3.3185、+4.9632、+3.3061、−4.8146。跨度 8.28，覆盖了正负两侧。真值是 +5.00。
A 「4.8 到 5.2」——这是「控制变量只影响精度」的假设。控制变量影响的是偏差，不是精度，而偏差没有上限。 B 「控制得差会低估」——低估是可能的（3.31），但也可能高估、也可能反号。偏差的方向由结构决定：混淆的符号是 C→X 和 C→Y 两个系数的乘积，这里一负一正，所以是负偏。换个结构就是正偏。 D 「回归就是回归」——回归是一个确定的算法，给定输入必然给定输出。但「输入是什么」不是回归决定的，是你决定的，而这本书讲的就是怎么做这个决定。这一章的一句话
同一份数据能给出四个互相矛盾的因果结论；选对控制变量所需要的信息不在数据里，而所有衡量「模型好坏」的现成指标，都站在预测那一边。
下一章处理一个更糟的处境：混淆变量你根本没测到，后门准则会明确告诉你「无解」。然后你会看到一条几乎像作弊的出路——只用 X、M、Y 三列数据，在 U 完全不可观测的情况下，把真效应 1.2600 估成 1.2557。