17 加权，和「错一个还站得住」

▷ 先判一次

「双重稳健估计只要两个模型有一个是对的，结果就是对的。」这句话里的「对」是指？

A 两个模型有一个抓住了全部混淆变量B 两个模型有一个的函数形式写对了（在都用了同一批变量的前提下）C 两个模型有一个的预测精度足够高D 以上都算

这道题分的是「遗漏变量」和「函数形式」——而这正是双重稳健被高估的原因。

加权：造一个假的总体

匹配的做法是「配对，配不上的丢掉」。加权是另一条路：一个人都不丢，但给他们不同的分量。

◆ 逆概率加权（IPW）

给每个人一个权重，等于他实际拿到的那个处理的概率的倒数：

处理组的人：w = 1 / e(Z)          e(Z) = P(X=1 | Z) 是倾向得分
对照组的人：w = 1 / (1 − e(Z))

直觉：一个倾向得分只有 0.05 的人却接受了处理，说明他代表了很多和他类似、但没接受处理的人——所以让他一个顶 20 个。

加权之后你得到一个伪总体（pseudo-population）：在这个假想的人群里，处理与协变量无关。加权，就是在算式里把 Z → X 那条箭头剪断。

这个视角很值得停一下：匹配是「造一对可比的人群」，加权是「造一个箭头已被剪断的人群」。它们从两个方向逼近同一个目标——第 9 章那把剪刀。

权重会爆炸

倒数有个众所周知的毛病：分母接近零的时候会炸。用第 12 章那台机器（两万人）：

IPW 估计                 4.9766       真值 5.00
最大的那个权重            38.57       ← 一个人顶 39 个人
稳定化之后最大权重         19.41
有效样本量              13237.7       名义上有 20000 人

有效样本量（effective sample size）是衡量这件事的好指标：权重越不均匀，你实际拥有的信息越少。这里两万人只剩一万三的分量。极端情况下，几个人的权重能占掉整个估计的一半——那时候你的结论其实是被那几个人决定的。

常见的三种缓解办法，各有代价：

稳定化权重：分子换成边际处理概率。上表里最大权重从 38.57 降到 19.41，方差小很多，而且估计值一点没变（还是 4.9766）——这是免费的。
截断（trimming）：把极端的倾向得分掐到某个范围内。这个不免费，它引入偏差换方差。
直接丢掉重叠差的人：诚实但改变了估计对象，必须在报告里说清楚。

双重稳健：把两个模型绑在一起

到这里，我们有两条独立的路：

结果模型：拟合 E[Y | X, Z]，然后预测每个人在两种处理下的结果。（回归走的这条）
处理模型：拟合 e(Z) = P(X=1 | Z)，然后加权。（IPW 走的这条）

两条都可能写错——你不知道 Y 对 Z 是不是线性的，也不知道 logit 是不是对的链接函数。

而有一个式子，可以把两者组合起来：

∑ AIPW（增广逆概率加权）

Ê[Y(1)] = (1/n) Σᵢ [ m̂₁(Zᵢ) + Xᵢ × (Yᵢ − m̂₁(Zᵢ)) / ê(Zᵢ) ]
                    ─────────    ───────────────────────────
                    结果模型的预测      用倾向得分加权的【残差修正】

读法：先用结果模型给每个人预测一个值，然后用加权后的残差去纠正它。

如果结果模型是对的，残差的期望是零，第二项自动消失 → 对。
如果倾向得分是对的，第二项恰好补偿掉结果模型的偏差 → 也对。

所以只要有一个对，整体就对。这个性质叫双重稳健（doubly robust）。

把它拆开看

下面这个 demo 故意把模型写错——「写错」的方式是把混淆变量 C 从模型里拿掉。四种组合：

                  结果模型对        结果模型错
            ───────────────  ───────────────
PS 模型对        4.9362  ✓        4.9843  ✓
PS 模型错        4.9637  ✓       −3.3185  ✗

# 真值 5.0000。四格里三格是对的。
# 唯一崩掉的那一格，正好等于什么都不控制的朴素差 −3.3185。

这张表是当场算出来的，不是抄来的。三格落在 4.94–4.98，第四格掉到 −3.32。双重稳健是真的。

那个 −3.3185 值得注意：它精确地等于第 12 章「什么都不控制」的那个数。这不是巧合——两个模型都不放 C，就等于根本没有调整。双重稳健在这里没有任何魔法可施。

它保护什么，不保护什么

◆ 两种「模型错」，只有一种被保护

错法	双重稳健能救吗
函数形式写错了（该加平方项没加、该加交互没加）	能——只要另一个模型形式对
漏掉了一个没测量的混淆变量	不能——两个模型会同时错

因为漏掉的混淆变量既不在结果模型里，也不在倾向得分模型里。两条腿一起断，正好落在右下角那一格。

而在实践中，第二种错误远比第一种常见，也远比第一种致命。

所以「双重稳健」这个名字是有点误导的：它稳健的是模型设定，不是识别假设。没有任何统计方法能对识别假设稳健——识别假设是所有方法共同的地基，地基塌了，上面盖什么都一样。

▸ 在现实里

双重稳健现在是「因果 + 机器学习」这条线的核心。

为什么？因为 AIPW 那个式子有一个很好的性质（叫 Neyman 正交性）：两个模型的估计误差在一阶上互相抵消。这意味着你可以用随机森林、梯度提升、神经网络这些收敛得比较慢的方法来拟合那两个模型，而最终的 ATE 估计仍然能达到 √n 的收敛速度、并且有有效的置信区间。

这套东西叫双重／去偏机器学习（Double/Debiased Machine Learning，Chernozhukov 等，2018），配上交叉拟合（cross-fitting）来避免过拟合导致的偏差。它是过去十年这个领域最实用的进展之一，Python 里的 EconML、DoubleML 都是干这个的。第 24 章会给入口。

但请注意它没有改变的东西：这些方法解决的全是「怎么把 E[Y|X,Z] 和 e(Z) 估得更好」。Z 里该放什么，仍然要你来定。而那是第 10 章的事，机器学习一个字都帮不上。

✗ 这个直觉是错的

用了双重稳健／因果机器学习，就不用那么担心混淆了。这些方法处理的是估计问题（怎么把两个中间模型拟合好）。识别问题（该控制哪些变量、能不能识别）它们完全不碰。

一个更锋利的说法：因果推断有两个阶段，识别和估计。近二十年的方法学进展几乎全在第二阶段，而实践中翻车几乎全在第一阶段。

这也解释了一个常见的困惑：为什么一篇用了最新方法的分析，结论可能还不如一个简单的、但设计巧妙的自然实验可靠。因为后者在第一阶段就赢了。卷 V 讲的就是怎么在第一阶段赢。

◇ 判词

B两个模型有一个的函数形式写对了（在都用了同一批变量的前提下）。

那张 2×2 表里的「错」，指的是设定错误。真正致命的那种错——漏掉一个没测的混淆——会让两个模型同时错，落在右下角那一格：−3.3185。

A 「有一个抓住了全部混淆变量」——如果一个模型抓住了全部混淆而另一个没有，双重稳健确实能救。但现实中「有一个没测到的变量」意味着两个模型都拿不到它，不存在「其中一个抓住了」这种情况。 C 「预测精度足够高」——预测精度和设定正确不是一回事。第 16 章说过：倾向得分模型的 AUC 高反而可能是坏消息。而结果模型预测得准也不保证 X 的系数是因果的（第 12 章那个加了对撞机的模型 R² 更高）。 D 「以上都算」——把识别和估计混成一锅，这正是本章要拆开的。

这一章的一句话

双重稳健让你在模型形式上有两次机会，但它对「漏了一个没测的混淆」毫无办法——因为那时候两条腿一起断。

下一章回头拆一个你已经用了很多年的东西：回归里的「控制变量」到底做了什么？答案会精确到小数点后六位——一步到位的 4.963182，和分三步走的 4.963182，两者之差是 1.12e-12。