19 借一把别人的剪刀

▷ 先判一次

你想估计「读大学对收入的影响」，但「家庭背景」这个混淆变量测不全。有人提议用「离最近的大学有多远」作为工具变量。这个提议最大的风险在哪？

A 距离和是否读大学相关性太弱B 距离可能通过别的途径影响收入（比如城乡差异）C 距离本身有测量误差D 样本量不够

这是一个真实的研究（Card, 1995），而选项里那个风险也是真实的批评。

找一个只推一边的东西

局面是这样的：U 同时影响 X 和 Y，而你测不到 U。第 13 章说过，这张图下 P(Y|do(X)) 不可识别。

工具变量的想法是往图里加一个新节点：

              U（测不到）
            ↙          ↘
  Z  ────→  X  ──────→  Y

# Z 的三条要求：
#   1 相关性：Z 真的影响 X
#   2 独立性：Z 自己没有混淆（没有东西同时影响 Z 和 Y）
#   3 排他性：Z 【只能】通过 X 影响 Y，没有直接的箭头 Z → Y

◆ 工具变量为什么管用

Z 的变动只可能通过 X 传到 Y（第 3 条），而且 Z 的变动本身是干净的（第 2 条）。

所以：Y 随 Z 的变动，全部是「X 随 Z 变动」再传下去的结果。两者一除，X 对 Y 的效应就出来了：

效应 = (Y 随 Z 变了多少) ÷ (X 随 Z 变了多少)

直觉上：Z 是一把借来的剪刀。你剪不动整条 U → X，但 Z 给了 X 一部分「干净的变动」，而你只用这部分来估效应。

两阶段最小二乘

实现方式叫 2SLS（two-stage least squares），两步：

第一阶段   X ~ Z          取拟合值 X̂
           # X̂ 里的变动【只来自 Z】，因此与 U 无关 —— 这就是那把剪刀
第二阶段   Y ~ X̂          X̂ 的系数就是估计

这台机器里 U 对 X 和 Y 都有强影响。真效应是 2.000：

普通 OLS（被 U 污染）     2.5881      偏了 +29%
2SLS                     1.9964      对
第一阶段 F 统计量        2005.9

弱工具：一把钝剪刀

把滑杆拧小，看会发生什么：

工具强度 Z→X    2SLS 估计    标准误      第一阶段 F
────────────    ─────────    ────────    ──────────
   0.80           1.9964      ±0.0664       2005.9
   0.30           1.9904      ±0.1756        286.5
   0.10           1.9720      ±0.5141         33.4
   0.05           1.9459      ±0.9922          9.0   ← 警戒线以下

# 真值 2.000

两件事同时发生：标准误爆炸（0.066 → 0.992，涨了 15 倍），点估计开始朝有偏的 OLS 那边漂（1.996 → 1.946）。

后者叫弱工具偏差。原因是：Z 太弱的时候，第一阶段的拟合值 X̂ 里除了「来自 Z 的干净变动」，还混着第一阶段自己的拟合噪声——而那份噪声和 U 是相关的。工具越弱，噪声占比越大，2SLS 就越像 OLS。

经验警戒线是第一阶段 F < 10。上表最后一行 F=9.0，正好踩在线上。（近年有研究认为这条线太宽松，实践中常要求 F 更大，或者用专门的弱工具稳健推断方法。）

◆ 三条要求，只有一条能检验

要求	能检验吗
1 相关性：Z 影响 X	能——看第一阶段 F
2 独立性：Z 自己没混淆	不能——只能论证
3 排他性：Z 只通过 X 影响 Y	不能——只能论证

这两条不可检验的假设，是所有工具变量研究争论的全部战场。一篇 IV 论文的价值，几乎完全取决于作者为第 2、3 条辩护得有多有力。

（有一个例外：如果你有多个工具，可以做过度识别检验，看它们给出的估计一不一致。但这只能证伪，不能证实——全都错的时候它们可能一致地错。）

它给的答案，只对一部分人成立

这是工具变量最容易被忽略、也最重要的一个限制。

Imbens 和 Angrist（1994）证明：在效应因人而异的情况下，2SLS 估的既不是 ATE 也不是 ATT，而是 LATE——局部平均处理效应（Local Average Treatment Effect）。

◆ LATE：只对「被推动的人」

把人分成四类（按他们对工具的反应）：

依从者（complier）：Z 让他接受处理，他就接受；不让就不接受。
永远接受者（always-taker）：不管 Z 怎样，他都接受。
永远拒绝者（never-taker）：不管 Z 怎样，他都不接受。
逆反者（defier）：反着来。（通常假设不存在，这条叫单调性假设。）

2SLS 估的只是「依从者」的平均效应。另外两类人对估计毫无贡献——因为工具推不动他们，他们的处理状态里没有任何干净的变动。

这个限制有非常实际的后果。用「离大学的距离」当工具，估到的是「那些因为大学近才去读的人」的收入回报——这批人多半是原本在读与不读之间犹豫的边缘人群。它不是「所有人读大学的回报」，也不一定能外推到别的人群。

所以报告 IV 结果时，一个诚实的做法是回答：这个工具推动的是哪些人？他们占多大比例？（后者可以从第一阶段估出来。）

▸ 在现实里

经济学过去四十年的主线，很大程度上就是「到处去捡别人替你抛的硬币」。2021 年的诺贝尔经济学奖颁给 Card、Angrist、Imbens，表彰的正是这套自然实验方法。几个经典的工具：

越战抽签号码（Angrist 1990）：字面意义上的随机抽签，用来估参军对收入的影响。这大概是最干净的一个工具。
出生季度（Angrist & Krueger 1991）：入学年龄规定让不同季度出生的人受教育年限略有差异。这个工具后来成了弱工具问题的经典教案——它太弱了。
随机对照试验里的「分组」：当有人不依从（分到吃药但没吃）时，用「分到哪组」当工具去估「真的吃了药」的效应。这是 IV 最没有争议的用法，因为第 2、3 条几乎自动成立。

软件工程里也有：如果你做过一次 A/B 测试，但用户可以自己选择用不用新功能，那么「被分到实验组」就是「实际使用了新功能」的一个天然工具。这正好是第 4 章说的意向性治疗分析的下一步——ITT 告诉你「推这个功能的效果」，IV 告诉你「用这个功能的效果」。

✗ 这个直觉是错的

找一个和处理高度相关、和结果相关性弱的变量当工具。工具和结果的边际相关性不需要弱——它当然会和结果相关（通过 X）。要求的是不存在从 Z 到 Y 的、绕过 X 的路径，这是一个结构条件，不是一个相关性条件。

这个误解会导致一种很糟的做法：在候选变量里搜，挑那个「和 X 相关、和 Y 相关性最小」的当工具。这是在用数据挑工具，而工具的合法性根本不在数据里。

另外提醒一条第 11 章的结论：不要把工具变量放进控制变量。那不但浪费了它，还会放大偏差（bias amplification）——它是你手上唯一的干净变动来源，控制掉它等于把剪刀扔了。

◇ 判词

B距离可能通过别的途径影响收入（比如城乡差异）。

这是排他性假设的失效：住在大学附近的人往往也住在城市里，而城市本身就意味着更多的就业机会、更高的物价和工资水平。这条从「距离」直接通向「收入」、绕过了「读不读大学」的路，会让 IV 估计整个偏掉。

这也正是文献中对 Card(1995) 那篇论文最主要的批评。作者的应对是控制一批地区特征，但这就变成了「在控制了这些之后排他性成立」——又是一个不可检验的假设，只是往后退了一层。

A 「相关性太弱」——这是一个真实的风险（弱工具），而且它可以被检验（看第一阶段 F）。可检验的风险，永远不是最大的风险。 C 「测量误差」——工具的测量误差会削弱第一阶段，让它变成弱工具，但不会造成系统性偏差。相比 B 是次要问题。 D 「样本量不够」——第五次了：样本量买方差，买不到无偏。

这一章的一句话

工具变量是一把借来的剪刀，它能在混淆完全测不到时识别效应；代价是两条永远检验不了的假设，以及一个只对「被推动的那批人」成立的答案。

下一章换一把剪刀，思路完全不同：不找工具，而是把不随时间变的东西全部减掉——包括你从来没测过、也没想到过的那些。你会看到只看处理组前后给出 9.97、只看后期两组给出 13.92，而两个错的相减给出 5.82，真值是 6。