05 比例：永远差那么一点

▷ 先拧一下

一台设备：给它 1 份功率，最终温度升 1 度（增益 K = 1）；它有 10 秒的惯性，没有延迟。

你用纯比例控制：控制量 = Kp × （目标 − 当前）。目标设成 1.0，从 0 开始。

把 Kp 设成 9。等它彻底稳下来之后，温度会停在哪？

A 1.0。控制器会一直推到误差为零为止 B 0.9 左右——差个百分之十 C 0.5 左右——差一半 D 9.0——增益 9 会把它推过头九倍

如果你选了 A，请把「一直推到误差为零」这句话再读一遍，然后问：误差真的为零的那一刻，控制器的输出是多少？

一条一行的控制律

比例控制（proportional control，P）就一句话：

   u = Kp × e        其中 e = r − y（目标 减 实际）

差得越多，用力越大；差得少了，就轻点。这条规则朴素到几乎不需要解释，而且它是你每天在做的事：车离前车远了多踩点油，近了松开；账上钱少了多接活，多了就歇歇。

它有三个真实的优点，不该被小看：

不会自己抖起来（在一级惯性对象上，第 4 章已经证过）；
没有记忆——它不记得过去发生过什么，所以不存在「攒了一肚子火」这种事（第 15 章会告诉你有记忆的控制器有多能记仇）；
快——误差一出现，输出立刻到位，没有任何积累过程。

然后是那个毛病。

为什么它必然差一点

先用一句话把它说穿，然后再算：

比例控制器要产生输出，就必须存在误差。误差归零的那一刻，它的输出也归零了。

想象那台加热器已经稳在目标温度上。稳住意味着它在持续散热，所以必须持续加热——阀门必须开着某个开度。而阀门开度 = Kp × 误差。要让开度不为零，误差就不能为零。

换句话说：那个残余的误差，就是它用来「养活」自己输出的东西。它不是没修好，它是必须留着这么多才能维持现状。

这个残余误差有个名字叫稳态误差（steady-state error，e_ss），而它的大小有一个极其简单的公式：

∑ 算一遍

稳态时一切都不动了，所以：

# 稳态时，设备的输出 = 增益 × 输入
   y = K · u
# 而控制器的输出 = Kp × 误差
   u = Kp · (r − y)

# 代进去：
   y = K · Kp · (r − y)
   y (1 + K Kp) = K Kp · r
   y = r · K Kp / (1 + K Kp)

# 所以误差：
   e = r − y = r · [ 1 − K Kp/(1 + K Kp) ]
             = r / (1 + K Kp)

★ 稳态误差 = 目标 / (1 + 回路增益)

K·Kp 这个乘积叫回路增益（loop gain）：信号绕环走一圈被放大了多少倍。它是这本书里最重要的一个量之一，第 14 章那两把尺子量的都是它。

注意这个式子的形状：分母永远比分子大 1。所以稳态误差永远大于零，无论 Kp 多大。你只能让它越来越小，不能让它等于零。这是一条渐近线，不是一个可以够到的点。

这就是本章开头那题的答案：Kp = 9，K = 1，回路增益 9，稳态误差 = 1/(1+9) = 10.00%，温度停在 0.9000。

拖动下面的滑杆自己看。注意那条曲线：它单调爬升、不越线，然后停在一个不是 1.0 的地方。

整张表：

Kp	回路增益	稳态误差	最终停在	闭环时间常数	比开环快
0.5	0.5	66.67%	0.3333	6.667 s	1.5×
1	1	50.00%	0.5000	5.000 s	2.0×
2	2	33.33%	0.6667	3.333 s	3.0×
4	4	20.00%	0.8000	2.000 s	5.0×
9	9	10.00%	0.9000	1.000 s	10.0×
19	19	5.00%	0.9500	0.500 s	20.0×
49	49	2.00%	0.9800	0.200 s	50.0×
99	99	1.00%	0.9900	0.100 s	100.0×

这张表里有一件事值得单独指出：「误差小」和「反应快」是同一个旋钮控制的，而且是同一个倍数。回路增益 9，误差小十倍、响应也快十倍。它们不是两个可以分别调节的性能指标，它们是同一件事的两个说法。

这一点在后面会变得很重要：当你为了不振荡而降低增益时，你同时失去了精度和速度，没有办法只放弃一样。

◆ 这一章的主线

比例控制的一切好坏，都由回路增益 K·Kp 这一个数决定：

稳态误差 = 1/(1+K·Kp)
速度提升 = (1+K·Kp) 倍
抗扰动能力 = 扰动的影响被除以 (1+K·Kp)

三条全是「越大越好」。所以你自然会问：那到底是什么拦着我把它调大？

不是功耗，不是成本，不是执行器上限。是那个到卷 III 才登场的东西。而在此之前，第 6 章会先给你一个不用加大增益就能把稳态误差干掉的办法。

「比例带」：同一件事的另一种说法

如果你去看工业温控器或者老一点的资料，会看到一个叫比例带（proportional band，PB）的参数，单位是百分比。它就是 Kp 的倒数换了个说法：

   PB = 100% / Kp

# 读法：「误差要有多大，控制量才会从 0 走到满量程」
#   PB = 10%  ⇔ Kp = 10   —— 误差占量程 10% 时，阀门就全开了（很凶）
#   PB = 100% ⇔ Kp = 1    —— 误差要占满量程，阀门才全开（很温和）
#   PB → 0%   ⇔ Kp → ∞    —— 退化成开关控制（第 16 章）

比例带的好处是它有物理直觉：「差 5 度阀门就全开」比「Kp = 20」好想象得多。见到它别慌，就是同一个旋钮。

▸ 在现实里

老式抽水马桶的浮球。那是一个纯粹的机械比例控制器：水位越低，浮球越低，杠杆把进水阀开得越大。它也精确地表现出稳态误差——水永远停在略低于关闭点的位置，因为阀门要保持一丝丝开度才能补上漏掉的水。老马桶那种「一直细细地流」就是这么来的。

自动扩容的目标利用率。「目标 CPU 60%」这类规则，本质是比例控制。而如果你的扩容规则没有积分项，它就会稳定在一个不等于 60% 的值上——很多人以为是配置没生效，其实是 1/(1+K) 在起作用。

限速时的油门。没有巡航定速的时候，人靠比例控制维持车速：慢了多踩点，快了松一点。而上坡时你会发现车速稳定地比限速低一点点——你的脚也有稳态误差。人克服它的方式是「觉得不对劲就多踩一点」，那正是下一章的积分项。

✗ 这个直觉是错的

稳态误差是因为增益不够大。把增益调够大，误差就消失了。稳态误差永远不会消失，只会变小。而且加大增益不是消除它的正确手段——正确手段是换一种控制律（加积分项），那一招能把它变成精确的零，而且不需要动增益。

这个直觉的错误在于它把「渐近趋近」当成了「可以达到」。1/(1+K) 这条曲线永远在零上方，你只是在花越来越大的代价买越来越小的改善：从 10% 压到 1%，回路增益要从 9 涨到 99——力气涨 11 倍，只换回 9 个百分点。

而这 11 倍力气是有代价的，只不过在这台理想的一级惯性设备上还看不见。等到第 9 章给它加上 2 秒延迟，你会发现回路增益连 8.5 都过不去——压到 1% 所需要的那个 99，从一开始就不在选项里。

这才是积分项真正的价值：它不是「另一种把误差调小的办法」，它是在你的增益预算被延迟卡死之后，唯一还能把稳态误差干到零的东西。

◈ 回读

B温度停在 0.9000，稳态误差 10.00%。而且顺便：闭环时间常数从 10 秒变成 1.000 秒，快了整整 10 倍。

那个残余的 0.1 不是没修完，是必须留着：控制器靠它产生输出 0.9，而这台设备正需要 0.9 的输入才能维持在 0.9 度。误差、输出、温度三者互相咬合，一个都不能动。

A 「一直推到误差为零」——这是把比例控制器想成了一个有意志的东西。它没有意志，它只有一条乘法。误差真的为零时它的输出也是零，而输出为零时温度会掉下来——所以这个状态不可能是稳态。 C 「差一半」——这是 Kp = 1 时的答案（回路增益 1 → 误差 50%）。很多人对「增益」的直觉停在「乘以 1」附近，而这个式子是 1/(1+K)，不是 1/K，那个 +1 很关键：它是没有控制器时的基准。 D 「推过头九倍」——把开环增益和闭环行为搞混了。开环里给输入 9 确实会到 9；但闭环里温度一升起来，误差就变小，控制量随之变小。环会自己把自己拉住，这正是闭环和开环的根本区别。

这一章的一句话

比例控制靠误差活着，所以它绝不会把误差消灭干净——那个残余不是缺陷，是它维持现状的口粮。

下一章加上第二个旋钮，它专治这个毛病，而且治得非常彻底：只要积分增益大于零，不管多小，稳态误差都精确归零。代价是这个环从此有了记忆——而记忆会带来一样比例控制从来没有过的东西：过冲。你还会看到全书最漂亮的一次凑巧：一阶设备加 PI 控制，闭环恰好是那个标准的二阶系统，第 4 章那张阻尼比对照表可以直接套上去用。