「稳」是一句可以验算的话
到目前为止，「稳定」在这本书里一直是个形容词：它会不会晃、停不停得下来。这一章把它换成一个整数——特征方程有几个根落在右半平面。而更漂亮的是：有一张 1877 年的表，只做加减乘除，不解任何方程，就能把这个整数数出来。
三级惯性的对象（三个 2 秒、3 秒、5 秒的一阶环节串起来，没有任何纯延迟），纯比例控制。
闭环特征方程是 30 s³ + 31 s² + 10 s + (1 + Kp) = 0。
问：Kp 加到多大，这个系统会开始持续振荡？
顺便注意一下选项 A：第 4 章说的其实是「一级惯性不会失稳」。三级呢？
把形容词换成整数
先给「稳定」一个能验算的定义。
一个线性系统的行为，完全由它的特征方程的根决定。这些根一般是复数，写成 σ + jω。而每一个根对应响应里的一项：
根 s = σ + jω 对应响应里的一项 e^(σt) · [ 正弦，频率 ω ]
└──┬──┘ └──────┬──────┘
它长不长大 它晃不晃
★ 所以一个根只说两件事：
实部 σ —— 这一项是在长大（σ > 0）还是在消失（σ < 0）
虚部 ω —— 这一项晃不晃，晃多快
σ < 0，ω = 0 → 安静地衰减（指数下降）
σ < 0，ω ≠ 0 → 一边晃一边衰减（会停）
σ = 0，ω ≠ 0 → 永远等幅晃下去（临界）
σ > 0，ω ≠ 0 → 一边晃一边长大（炸）
σ > 0，ω = 0 → 一路飞出去，连晃都不晃（比如符号接反了）
所以「稳定」的精确定义就一句话：
所有的根，实部都小于零。一个都不能例外。
把复平面画出来，竖轴是虚轴。左半平面 = 安全，右半平面 = 会长大。而稳定与否，就变成了「右半平面有几个根」这个整数是不是 0。
注意这个定义的一个后果：只要有一个根跑到右边，整个系统就完了，不管其他根有多稳。因为那一项会指数增长，最后压倒一切。系统的脾气由最靠右的那个根决定——它有个名字叫主导极点。
1877 年的那张表
那么怎么知道有几个根在右边？最笨的办法是把根都求出来，一个个看。但三阶以上的方程求根很麻烦，而在 1877 年，压根没有计算机。
Edward Routh 给出了一个惊人的答案：你根本不需要求根。把系数排成一张表，做几轮加减乘除，数第一列变了几次符号，那就是右半平面根的个数。
拖动滑杆，左边是那张表，右边是真把根求出来之后的样子：
对三阶方程 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀，那张表化简成一句话，值得背下来：
★ 三阶系统稳定 ⟺ 所有系数同号，且 a₂ a₁ > a₃ a₀ # 代进我们这个：a₃=30, a₂=31, a₁=10, a₀=1+Kp 31 × 10 > 30 × (1 + Kp) 310 > 30 + 30 Kp Kp < 9.3333… ★ 临界增益就这么解出来了，没解过任何方程。
验算一遍，把 Kp 一路加上去看最靠右的那个根：
| Kp | a₂a₁ − a₃a₀ | Routh 说 | 求根说 | 最靠右的根 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 250 | 0 个 | 0 个 | −0.171477 − 0.259154i |
| 4 | 160 | 0 个 | 0 个 | −0.081485 − 0.429943i |
| 8 | 40 | 0 个 | 0 个 | −0.016667 + 0.547469i |
| 9 | 10 | 0 个 | 0 个 | −0.004012 − 0.570166i |
| 9.3333 | 0 | 临界 | 临界 | 0.000000 + 0.577350i |
| 12 | −80 | 2 个 | 2 个 | +0.029144 − 0.629375i |
盯着「最靠右的根」那一列：它的实部是 −0.171 → −0.081 → −0.017 → −0.004 → 0.000000 → +0.029。那对共轭根在朝着虚轴稳步右移，在 Kp = 9.3333 处精确地踩上去，然后越过。demo 里那条灰色轨迹画的就是这个过程。
顺便，临界那一刻的虚部是 0.577350，正好是 1/√3 = √(a₁/a₃) = √(10/30)——这也是 Routh 表能直接给出的：失稳频率就是那一行为零时辅助方程的根。对应周期 10.8828 秒。
还有一件事必须指出：这个对象一点纯延迟都没有，纯粹靠三级惯性就把相位滞后凑够了 180°（每级最多贡献 90°，三级最多 270°，够用）。所以第 4 章那句「一级惯性怎么加增益都不晃」，确实只对一级成立。这就是选项 A 的陷阱。
三条路，一个答案
那个 demo 里同时跑了三条完全不同的路：
路 ① Routh 判据。只做加减乘除，不解方程，数第一列的符号变化。
路 ② 真把根求出来。用 Aberth–Ehrlich 迭代在复平面上找根，数实部大于零的有几个。
路 ③ 不问理论，真跑一遍。解那个微分方程，踢它一脚，看后半段的包络比前半段大还是小。
三条路用的数学毫无交集：一条是纯代数，一条是复变函数的迭代，一条是数值积分。而它们必须永远给出同一个答案——这是「稳定」这个概念是否自洽的检验。
而这还不够
三条路都是我写的。它们一致，只能说明我没有前后矛盾，不能说明我是对的——三段代码可以一起错。
所以这本书做了第四件事：去找一个和我完全无关的实现来对判。
本机装着 numpy 2.4.6。它求多项式根走的是完全不同的路线：把多项式变成伴随矩阵，然后调用 LAPACK 求特征值——那是几十年来被无数科学计算反复捶打过的数值线性代数库。它和我这台 Aberth 迭代求根器，从算法到实现没有一行共同祖先。
$ node scripts/probe-ctl/snapshot.mjs
Darwin 25.5.0 arm64 · node v24.14.0 · numpy 2.4.6 / python 3.14.6
题目 933 道（{"known":400,"random":500,"book":33}），共 3839 个根
求根器 vs numpy：最大偏差 1.786e-11（最差一题：known#232）
右半平面根个数：求根器 933/933 一致，Routh 933/933 一致
已知真值的 400 题：400 题精确还原
三类题目：
- 400 道由已知根反造的——真值已知，三方都必须还原出来（400/400 还原）；
- 500 道随机系数的——没有真值，这才是真的考试。两边硬碰硬比根的位置；
- 33 道书里真出现过的闭环特征多项式——包括本章这个三级惯性、第 6 章的 PI 闭环、以及用一阶 Padé 近似延迟环得到的那些。
结果：3839 个根，最大偏差 1.786×10⁻¹¹；而「右半平面有几个根」这个决定生死的整数，933 道题三方全部一致。
这就是这本书对「可信」的标准。我不要求你相信我写的引擎，我要求那台引擎和一个你可以自己去核对的第三方对得上。
日常语言里「稳定」是「不容易出问题」的意思，是程度词。控制论里它不是程度词，是一个二值判断：所有根都在左边，或者不是。
这带来一个初学者常有的困惑：「我这个系统冲过头 90%，晃了十几下，这算稳定吗？」——算。只要它最终停下来，它就是稳定的。稳定不等于好，稳定只是「不会自己长大」。
反过来，「这个系统看起来很平稳」也不等于稳定：一个用了 99% 临界增益的系统，在没有扰动的时候可以安静得像块石头，而任何一点风吹草动都会让它晃很久很久。它在数学上是稳定的，在工程上是随时会出事的。
所以只有「稳不稳」是不够的，你还需要「离不稳还有多远」——那正是下一章的两把尺子。控制论把这两件事分得很清楚：稳定性（stability）是二值的，裕度（margin）是连续的。
Routh 表今天还有用吗？有，但用法变了。今天你要判断稳定性，直接 numpy.roots 一行就完了。Routh 表的价值在于它是符号的：它能直接给你「Kp 必须小于 9.3333」这样一条关于参数的不等式，而不是某一组具体参数的结论。这在设计阶段无可替代——它告诉你的是一整片可行域。
「最靠右的根」是一个能监控的量。如果你能对系统做在线辨识（拟合一个模型出来），那主导极点的实部就是一个直接的健康指标：它朝虚轴移动，说明你的余量在被吃掉——可能是设备老化，可能是有人偷偷加了一层缓存。它比任何业务指标都更早报警。
那个虚部也很有用。失稳时系统会以 ω 这个频率振荡，而这个频率是可以预先算出来的（本章是 0.5774 rad/s，周期 10.88 秒）。所以当你在生产环境看到一个周期 11 秒左右的规律波动时，你有一个很强的线索：去找那个环，它快到极限了。这比「系统有点抖」有用得多。
这个直觉的问题有三层：
- 时长问题。一个最右根实部是 +0.004 的系统，每 250 秒才长大 e 倍。跑 60 秒的测试，你会看到一条几乎平的线，然后签字通过。它确实是发散的。
- 覆盖问题。参数空间是连续的，你不可能跑遍。而 Routh 给你的是一个解析的边界：
Kp < 9.3333，一句话覆盖了全部情况。 - 因果问题。仿真告诉你「炸了」，不告诉你为什么、改哪个参数能救。而看着那对共轭根往右移，你立刻知道该动哪个旋钮、动多少。
本书的立场是两个都要：理论给你边界和方向，仿真给你「我没算错」的检验。这正是那个 demo 同时跑三条路的理由——而且它们必须一致，不一致就说明有一条是错的。
CKp = 9.3333，而且不需要解方程。三阶系统的稳定条件是 a₂a₁ > a₃a₀，代进去 310 > 30 + 30Kp，直接解出 Kp < 9.3333。
把这个值代回去求根，最靠右的那对根实部是 0.000000000000，虚部 0.577350——精确地踩在虚轴上，振荡周期 10.8828 秒。
A 「没有纯延迟就不会失稳」——第 4 章的结论是「一级惯性的对象，纯比例控制怎么加增益都不晃」。三级惯性完全够凑出 180° 的相位滞后（每级最多 90°）。纯延迟不是失稳的必要条件，它只是最便宜、最容易被忽略的那个来源。 B 「要很大，几百以上」——这个直觉大概来自「三级惯性听起来很温和，不像延迟那么凶」。而它的临界增益只有 9.3333，比第 11 章那台带 2 秒延迟的设备（8.5024）大不了多少。多级惯性和纯延迟一样能要命。 D 「没有简单办法」——这正是 Routh 在 1877 年推翻的东西，也是这一章存在的理由。而且它给的不是一个数，是一整条不等式：任何满足Kp < 9.3333 的参数都稳定，一次覆盖全部。
这一章的一句话
「稳定」不是感觉，是一个整数；而这个整数可以不解方程就数出来——所以「我觉得它挺稳的」这句话，从来没有必要说。
下一章解决那个更实用的问题：离那条线还有多远。你会拿到两把标准尺子，其中一把可以直接读成一句人话——「这个环还能再多容忍 2.71 秒的延迟」。有了这个数，「有人在链路里加了一层代理」就从一件说不清的事，变成了一笔能算的账。