没人后悔的那一格
这本书的书名来自一个定义。均衡这个词听起来很玄，其实它说的事情朴素得过分：站在事后回看，在别人都不改的前提下，我换任何一手都不会更好——也就是我不后悔。当桌上每个人都这么说时，这一格就锁死了。它未必好，但它稳。
石头剪刀布。你和一个人要连打一千局，赢一分输一分，平手零分。对方是个很强的对手，会盯着你的历史找规律。
问：你该怎么出，才能保证自己长期不亏？
顺带一问：如果规则改成「赢石头得 10 分，赢别的还是 1 分」，你的出手频率该怎么变？把这两个答案都在心里落一下。
先把「均衡」这个词从神坛上请下来
上一章我们用划线法找到了一格，说它是「没人后悔的那一格」。现在把这句话拧紧一点，拧成一个能验算的东西。
一组选择（我选这个、你选那个）叫做均衡，如果同时满足两条：
- 在你的选择不变的前提下，我换成别的任何一手，收益都不会更高；
- 在我的选择不变的前提下，你换成别的任何一手，收益也都不会更高。
就这两条。它们正是划线法里的横杠和竖杠：第 1 条说「这一格上有横杠」，第 2 条说「这一格上有竖杠」。
请注意这个定义里没有的东西：
- 没说这一格对大家最好（第 1 章那个「都招供」明显不是）；
- 没说这一格公平；
- 没说人们会「找到」它，或者会自愿走过去；
- 甚至没说它唯一——一张表上可以有好几个。
它只说了一件事：如果事情停在这里，那它就停得住。因为想动的人，动了都会变差。
这个概念的正式名字叫纳什均衡（Nash equilibrium），因为约翰·纳什在 1950 年证明了一件事：任何有限的博弈，都至少存在一个均衡——只要允许玩家掷骰子。这句话的分量在下面会说清楚。
「均衡」这个译名带着物理学的味道，其实挺贴切：它就像放在碗底的一颗珠子。碗底不一定是房间里最低的地方，但珠子在那儿不会自己动。
麻烦来了：一张对不上杠的表
猜硬币。两个人同时亮出正面或反面：一样，我赢；不一样，你赢。
你：正 你：反 我：正 +1 \ −1 −1 \ +1 我：反 −1 \ +1 +1 \ −1
划一遍线。第一列（你出正）：我出正得 +1，出反得 −1，我最好出正——横杠在左上。第二列（你出反）：我最好出反——横杠在右下。第一行（我出正）：你出正得 −1，出反得 +1，你最好出反——竖杠在右上。第二行：竖杠在左下。
你：正 你：反 我：正 +1 \ −1 ▲ −1 \ +1 ▶ 我：反 −1 \ +1 ▶ +1 \ −1 ▲ # 四道杠，没有一格同时有两道。◆ 一个都没有。
没有均衡。四道杠像四个人在追着彼此转圈：我猜你出正我就出正，你察觉了就出反，我察觉了就出反，你察觉了又出正……这个圈永远转不完。
这就是麻烦。上一章那套办法在这里彻底失效了。
解法：把「掷骰子」也算成一种选择
转机在于把选项的定义放宽一点。除了「出正」和「出反」，我们允许第三种东西：以某个概率出正，以剩下的概率出反。这样的选择叫混合策略。
为什么允许掷骰子就一定有均衡？直觉是这样的：纯粹的选择只有几个孤立的点，转起圈来找不到落脚处；而一旦允许概率，选项就从几个点变成了一整段连续的区间——你可以出 50% 的正，也可以出 50.1% 的正。在连续的空间里，那个「转圈」的过程一定有一个不动点。纳什 1950 年那篇只有一页多的论文，证的就是这件事。
那么猜硬币的均衡在哪？这里出现了全书第一个真正反直觉的地方，我要把它单独拿出来说。
你的概率不是为你自己服务的
假设我以概率 p 出正。什么样的 p 才算是均衡的一部分？
先问一个更小的问题：如果我的 p 让「出正」对你比「出反」更划算，会发生什么？那你就会一直出反。而如果你一直出反，我最好也一直出反——我的 p 就不该是原来那个值了。所以这不是均衡。
反过来，如果我的 p 让「出反」对你更划算，同样不稳。
剩下唯一的可能是：我的 p 恰好让你出正和出反一样好。只有在这种「你无所谓」的状态下，你才愿意也去掷骰子，而我的骰子才站得住。
请把这句话读两遍：我的概率，是用来让「你」无所谓的。于是解这个概率的方程里，写的全是你的收益数字，一个我的数字都没有。
# 我出正的概率记作 p。让你在正和反之间无所谓： # 你出正的收益 = p·(−1) + (1−p)·(+1) # 你出反的收益 = p·(+1) + (1−p)·(−1) # 相等 ⇒ −p + 1 − p = p − 1 + p ⇒ 2 = 4p ⇒ p = 1/2 # 注意方程里出现的每一个数字，都是 你 的收益。 # 我的收益从头到尾没有参与。
猜硬币是对称的，所以这一点还不够刺眼。第 5 章会把它推到极限，给你看一个提高罚款却完全不改变违规率的例子。现在先记住这个形状：混合均衡里，每个人的概率都是由对手的收益决定的。
石头剪刀布：唯一的 1/3
同样的道理搬到三个选项上。让对方在石头、剪刀、布之间完全无所谓，需要我出这三手的概率满足两个方程；解出来是 1/3、1/3、1/3，而且这是这张表唯一的均衡——不是「之一」，是唯一。上面 demo 里的引擎是把所有可能的支撑组合逐个试过一遍才这么说的。
顺便回答开头那个附加问题：如果把「赢石头」的奖励从 1 分提到 10 分，我的出手频率会怎么变？
按刚才的逻辑：我的频率由对方的收益表决定。改的是我赢的时候我拿多少，动的是我的表。所以变的是对方的频率，我的不变。这个结论第 5 章还会再来一次，那时候它会难受得多。
凡是「被看穿就完蛋」的事情，均衡都是混合的：查票、查酒驾、抽检、反作弊风控、渗透测试的时间点、体育比赛里的战术选择。这类场合有一个共同特征——可预测本身就是漏洞。
所以真实世界里的稽查往往刻意随机：不是因为随机公平，是因为任何固定规律都会被最优应对掉。而随机的频率不是拍脑袋定的，它有一个精确解，并且——这是最反直觉的部分——那个解写在被查一方的收益表里，不在稽查方的表里。
「混合策略就是『没想清楚，随便出』。真正的高手应该有确定的打法。」
混合策略是算出来的确定打法，只不过它的输出是一组频率而不是一个动作。1/3 这个数是唯一解，差一点点都会被对手利用。
还有一层更深的：均衡里你之所以愿意掷骰子，恰恰是因为此刻三手对你完全一样好。所以「我随便出」和「我精确地按 1/3 出」，对你自己的收益毫无差别——差别在于，前者会在长期里露出规律，被对方抓住。
正确答案是 B：三个各 1/3，而且这是唯一的答案。
附加问题的答案：把「赢石头」的奖励提到 10 分，你自己的出手频率一点都不变，变的是对手的。
A 「找规律」——对付真人时这确实有用，而且非常有用。但它回答的是另一个问题：「怎么打败一个不在均衡上的对手」。题目里说了对方很强；一旦他也在找你的规律，找规律就变成了那个转不完的圈。均衡是这个圈唯一的出口。 C 「布多一点」——这是对「人爱出石头」这条经验的最优应对，本身没错。它的问题是：一旦你这么做，你就可被应对了。均衡的意义正在于它不可被应对——对方知道你在按 1/3 出，也拿你没办法。 D 「没有该怎么出」——错在把「解不出来」当成了「不存在」。1/3 不是玄学，它是一个两元一次方程组的唯一解，第 21 章还会让一台完全不懂博弈论的机器自己撞出这个数来。猜硬币这类局，两边期望收益都是 0，谁也占不到便宜。如果你是规则制定者，想让这个局有一个确定的、不用掷骰子的答案，你改什么？
同时出手 ⇒ 四道杠转圈 ⇒ 没有纯策略均衡，只能掷骰子。 改成一先一后，后手能看见先手出什么 ⇒ 后手永远赢。局立刻有了确定的答案，代价是它变得完全不公平。「同时出手」这个看似无关紧要的细节，原来是这个局的全部结构。第 8 章专门讲顺序。
这一章的一句话
均衡是一张没人后悔的表：它不保证好，只保证没人能靠自己走开；而当纯粹的选择对不上杠时，答案总在概率里，并且那个概率是为对手准备的。
下一章回到那张让人不舒服的表，把它和另外三张只差几个数字的表摆在一起。同样的划线法、同样的四个格子，结局天差地别：一张表上桌子被清空，一张表上留下 4 分没人拿，一张表上有两个都稳得住的均衡而它们相差 2 分，还有一张表连均衡都会撞车，撞车的概率精确到 1/9。