08 先走的人不一定占便宜

▷ 轮到你

桌上放着一小堆钱。你和另一个人轮流做决定，每轮只有两个选项：拿走，或者传下去。

规则：第 k 步动手的人如果选「拿走」，他得 2^k+1，对方得 2^k−1；每传一手，两边的数都翻倍。一共六步。如果六步全都传下去，游戏结束，两人各得 100。

具体的数是这样的：第 1 步拿走 = 你 4 他 1；第 2 步拿走 = 他 8 你 2；第 3 步 = 你 16 他 4；……第 6 步 = 他 128 你 32。一路传到底 = 各 100。

对方是一个完全理性、并且知道你也完全理性的人。问：你在第 1 步会怎么做？

A 传。往后每一步蛋糕都在翻倍，一起传下去两人各得 100，比 4 高多了 B 拿。因为我信不过他 C 拿。这是逆向归纳的唯一答案，跟信不信任无关 D 传一两步试试，看他的反应再说

轮流出手的局，怎么解

有先后顺序的局画成一棵树：每个节点是「轮到谁」，每条边是一个动作，叶子上写着两个人的收益。

解这种树有一个标准动作，叫逆向归纳：从最后一步倒着往回算。

为什么要倒着？因为最后一步是最容易解的——那时候没有「以后」了，动手的人只需要比较两个数，挑大的。一旦最后一步定了，倒数第二步的人就知道自己传下去会得到什么，于是他那一步也变成了简单的比较。一层层退回去，整棵树就解开了。

这是一个漂亮的方法，而且它给出的答案是唯一的、确定的、不需要掷骰子的。上面 demo 里的引擎就在做这件事。

先看它有用的时候：烧掉退路

一家公司在某个市场里独占，赚得舒服。现在有个新玩家在考虑要不要进来。

如果新玩家进来，在位者有两个选择：打（降价血拼，两败俱伤）或者忍（分市场，各赚一点）。

新玩家 ──不进──▶ (0, 10)          # 在位者继续独占，赚 10
       └──进──▶ 在位者 ──打──▶ (−1, 0)   # 两败俱伤
                        └──忍──▶ (2, 5)   ★ 忍比打好，在位者当然忍

倒着算：在位者面临「打得 0，忍得 5」，他会忍。新玩家往前看一步，知道对方会忍，那么「进」得 2 比「不进」得 0 好。所以新玩家进来，在位者忍，结局 (2, 5)。

在位者本来能拿 10，现在只能拿 5。他很想威胁说「你敢进我就跟你死磕」，可这个威胁不可信——真到了那一步，死磕对他自己更差，新玩家算得出来。

现在换个玩法。在位者提前做了一件事：把「忍」这条路堵死。比如公开签下一份「本产品永远最低价、发现更低差价十倍赔付」的承诺，或者跟渠道签排他协议，让「分市场」这个选项在合同上不成立。

新玩家 ──不进──▶ (0, 10)   ★
       └──进──▶ 在位者 ──打──▶ (−1, 0)
                        └──忍──▶ (2, −1)  # 忍的收益被自己毁掉了

现在倒着算：在位者面临「打得 0，忍得 −1」，他会打。新玩家往前看，「进」得 −1 比「不进」得 0 差。他不进。在位者拿 10。

在位者砍掉了自己的一个选项，收益从 5 涨到 10。

这是这本书里第一次出现「限制自己反而变强」。它在同时出手的局里是不可能的——你少一个选项只会更差。只有当别人会观察你、并根据你来决定时，「我没有退路」才变成一种资产。

✎ 术语正名

承诺（commitment）在博弈论里不是「我保证」的意思。口头保证在逆向归纳面前一文不值，因为到了那一步你还是会做对自己最好的事，对方算得出来。

真正的承诺必须是不可撤销的：它要真的把你未来的某个选项从树上砍掉。签合同、公开宣布、沉没成本、把船烧掉——这些动作的价值全在于「我想反悔也反悔不了」。

所以下次听到「可信的威胁」这个词，判据只有一条：真到了那一步，执行它对威胁者自己是不是最优的？是，才可信。

再看它失灵的时候：蜈蚣

回到开头那个游戏。用逆向归纳算一遍：

# 第 6 步（他动）：拿走得 128，传下去得 100 ⇒ 他拿。
# 第 5 步（你动）：拿走得 64，传下去他会在第 6 步拿，你得 32 ⇒ 你拿。
# 第 4 步（他动）：拿走得 32，传下去你会在第 5 步拿，他得 16 ⇒ 他拿。
# 第 3 步（你动）：拿走得 16，传下去他会在第 4 步拿 32，你只得 8 ⇒ 你拿。
# 第 2 步（他动）：拿走得 8，传下去你会拿，他得 4 ⇒ 他拿。
# 第 1 步（你动）：拿走得 4，传下去他会在第 2 步拿，你得 2 ⇒ 你拿。

★ 结论：第一步就拿走。你 4，他 1。

一路传到底两人各得 100，而这个无懈可击的推理说：拿 4。

推理的每一步都对。可是它成立的前提是一整串假设：你确信他理性，他确信你理性，你确信他确信你理性……这又是第 7 章那座塔。而在真人身上，这座塔从来没建到过顶。

这个游戏叫蜈蚣博弈，Robert Rosenthal 在 1981 年提出。1992 年 McKelvey 和 Palfrey 做了实验版本，结果是：只有很小一部分人在第一步就拿，绝大多数人会往下传几步，而且往往传到接近末尾。这个结果后来被反复重复过，包括让国际象棋大师来玩（Palacios-Huerta 与 Volij 在 2009 年做过，结论有争议，也有人复现不出来）。

该怎么理解这个「失灵」？有几种解释都成立，而且并不互相排斥：

人不是完全理性的。推理链条太长，多数人不会一路倒推六层。
人不确定对方是否完全理性。只要你觉得对方有一点点可能会传，往下传就变得划算了——因为传对了收益翻倍，传错了只亏一点点。这条解释很有力，因为它不需要任何人不理性，只需要有一点点不确定。
人的收益表里本来就有别的东西。公平感、不想当那个先下手的人、对方的观感——这些如果进了表，表就变了。

第二条解释是第 11 章的入口：「有一点点可能不是那样」这件事，本身可以是一种资产。

▸ 在现实里

最后通牒。一个人分 100 块，另一个人只能接受或拒绝，拒绝则两人都空手。逆向归纳说：给对方 0（或最小的一份），对方也会接受，因为 0 不比 0 差。

而 Güth 等人 1982 年那篇著名的实验以及之后大量重复研究发现：提议者最常给出的是接近对半分，而低于两成的提议有相当高的比例被拒绝——宁可自己也拿不到。这被反复解读为「人在意公平」，也可以更中性地说：被试的收益表里，除了钱还有别的东西。

谈判里的「我做不了主」。销售说「这个折扣我批不了，得请示总部」，往往不是无能，是在制造承诺——把自己的让步选项从树上砍掉。同理，工会把谈判授权交给一个不能临时变卦的代表，反而增强了议价能力。

代码里的承诺。把配置写死、把接口标成 deprecated 并给出下线日期、把回滚脚本删掉——这些都是往树上砍选项。有时候它们让系统更强（别人不再依赖你的临时行为），有时候只是让你自己更痛。判据还是那一条：你砍掉的这个选项，是不是别人正在指望你会用的？

✗ 这个直觉是错的

「先出手的人有优势。抢占先机总没错。」

先手是不是优势，取决于后手能不能看见你做了什么，以及看见之后能做什么。

在猜硬币里，先出手是灾难——后手看见你的手就赢定了。在讨价还价里，先开价常常是优势。在产品市场里，先发者可能占住用户心智，也可能替后来者把坑全踩了一遍。

正确的问法不是「先手好不好」，而是：这个局里，信息是往哪个方向流的？信息流向后手，先手就是在暴露自己；信息流向后手但先手能借此做出不可撤销的承诺，先手就是在设定规则。

◇ 摊牌

逆向归纳的答案是 C：第一步就拿，4 和 1。但在真人对局里，D 才是实际发生的事，而且它并不比 C 蠢。

A 「一起传下去各得 100」——这是把「对两人都好」再一次误当成「稳得住」。100 那一格站不住：走到最后一步时，动手的人拿 128 比 100 好，他一定会拿。而这一点被所有人往前看穿之后，整条链就塌了。这是第 1 章那个错误的时间版本。 B 「信不过他」——和第 1 章一样，方向对但理由错，而这次错得更明显：哪怕你完全信任他，信任也帮不上忙。你相信的是他会「传」，可他在第 2 步面对的是「拿 8 还是让你在第 3 步拿走、我得 4」，他会拿。你信任的是他的善意，而挡在中间的是他的算术。 D 「传一两步试试」——在真人面前这是最好的答案，而且有严格的理由：只要你认为对方有一点点可能会继续传，传的期望收益就高于拿。第 11 章会把这个「一点点」做成一个可以计算的东西。

◆ 换你定规则

蜈蚣博弈之所以塌，是因为它有最后一步，而最后一步的人一定会拿。如果只准你改一条规则，让「一路传下去」变得稳得住，你改什么？

六步封顶 ⇒ 最后一步必拿 ⇒ 倒推全塌 ⇒ 第一步就拿，4 和 1。去掉「六步」，改成每一步之后有一定概率继续（比如 80%）⇒ 没有确定的最后一步，倒推无从下手 ⇒ 「一直传下去」可以成为均衡。

这个改动看起来只是技术细节，其实是这本书的一个转折点：「还会不会有下一次」，比任何惩罚都重要。整个卷 III 都在讲这一句。下一章就把它变成一个精确的门槛。

这一章的一句话

顺序把局变成了一棵能倒着解的树，而这棵树告诉你两件事：不可撤销的承诺是一种力量；以及，任何有确定终点的合作，都会从终点开始往回塌。

卷 II 结束。下一卷处理那个塌方：如果没有终点会怎样？答案是一个可以算到小数点后的门槛。同一张囚徒困境的表，只要「下次还会再见」的概率超过 2/3，合作就能稳稳站住；低于这个数，任你怎么讲道理都站不住。2/3 换算成人话是：这段关系平均还剩 3 次。