同一个局玩一百次
囚徒困境的表一个字没改，人也还是那两个人，只把「玩一次」换成「反复玩」——合作就可能站住了。这不是心态变了，是这个局本身变成了另一个局。而它站不站得住有一个精确的门槛，能算到分数。这一章要给你的，是一把可以拿去量任何关系的尺子。
你和一个供应商长期合作。每一期你们都面临一个标准的囚徒困境：老实交货各赚 3，偷工减料得手赚 5，被对方偷工减料赚 0，两边都偷工减料各赚 1。
你打算采用最朴素的策略：他老实我就老实，他坑我一次我就再也不跟他好好合作了。
问：这段合作关系「平均还剩几次」，才能让对方觉得老实交货是划算的？
顺便预测：如果你把策略换成「他坑我一次，我就回敬他一次，然后既往不咎」，这个门槛会变松还是变紧？
「玩很多次」到底改了什么
先说清楚它没有改什么：那张表一个数都没动。背叛得手还是 5，一起合作还是 3。所以在单独一期里，背叛依然是占优策略。
改的是「一手」的定义。在重复的局里，你选的不再是「这一期做什么」，而是一整套「在什么情况下做什么」的规则。「他上次怎么做我这次就怎么做」是一手，「永远合作」是一手，「第一次合作，被坑一次之后永远背叛」也是一手。
这是重复博弈的全部魔法：选项集合变大了，大到里面装得下「惩罚」。而一旦装得下惩罚，「一起合作」就可能变成没人后悔的那一格。
把账算清楚
先要一个东西来表示「未来值多少」。记 δ（读作 delta）为下一期还会发生的概率——或者等价地，未来一期的收益折算到现在值多少。δ 在 0 和 1 之间。
δ = 0 表示这是最后一次打交道；δ = 0.9 表示九成概率还有下一次。这里有一个很好用的换算：
# 关系还剩几次（期望值） 1 / (1 − δ) δ = 0.5 ⇒ 还剩 2 次 δ = 2/3 ⇒ 还剩 3 次 δ = 0.9 ⇒ 还剩 10 次 δ = 0.99 ⇒ 还剩 100 次
现在算对方的账。假设你用的是记仇策略（一被坑就永远不再合作）。
# 他一直老实：每期 3，一直到关系结束 3 + 3δ + 3δ² + ... = 3 / (1 − δ) # 他坑你一次，之后你永远不合作，两人各得 1： 5 + 1·δ + 1·δ² + ... = 5 + δ / (1 − δ) # 老实划算 ⇔ 3/(1−δ) ≥ 5 + δ/(1−δ) # ⇔ (3 − δ)/(1 − δ) ≥ 5 # ⇔ 3 − δ ≥ 5 − 5δ # ⇔ 4δ ≥ 2 # ⇔ δ ≥ 1/2 ★ 记仇的门槛：δ* = 1/2，也就是「关系平均还剩 2 次」。
换成更一般的写法，用第 3 章那四个字母：背叛一次多赚 T − R，代价是往后每一期少拿 R − P。所以门槛是
δ* = (T − R) / (T − P) = (5 − 3) / (5 − 1) = 1/2
以牙还牙的门槛更高
现在换一个温和一点的策略：以牙还牙——他坑我一次，我回敬一次，然后既往不咎。
直觉上这更宽容，所以约束应该更松才对。算出来恰恰相反。
因为惩罚只有一期，背叛的代价小了很多。而且还多出一种新的偏离方式：交替背叛——我背叛、你回敬、我合作、你合作、我再背叛……这样我能反复吃到 T 和 S 的循环。要挡住这一招，需要过第二道门槛：
第一道（挡住「永远背叛」）：δ ≥ (T − R)/(T − P) = 2/4 = 1/2 第二道（挡住「交替背叛」）：δ ≥ (T − R)/(R − S) = 2/3 ≈ 0.6667 ★ 两道都要过，所以以牙还牙的门槛是 δ* = 2/3， 也就是「关系平均还剩 3 次」。
所以开头那个附加问题的答案是：变紧了。宽容是有代价的，代价就是它需要更长的关系才撑得住。
这一整套结论有个名字叫无名氏定理（folk theorem），名字来源很朴素：这个结果在圈子里流传了很久，早到没人说得清是谁最先证的，所以就叫「民间定理」。
它的正式内容比上面强得多，也吓人得多：只要 δ 足够接近 1，几乎任何「每人都不低于其最差保底」的收益组合，都可以是重复博弈的某个均衡。
请注意这句话的两面。好的一面：合作可以站住。坏的一面：「可以站住」的东西太多了——欺压、勒索、心照不宣的分赃，也一样可以站住。重复博弈不保证好结果，它只是把可能的结果撑大了。至于最后落在哪一个，需要别的东西来选，比如第 7 章那座信念之塔。
为什么旅游区的店容易宰客。不是那里的人道德水平特别低，是 δ 特别小——这个客人这辈子大概率不会再来。同一个老板在自己小区门口开店，行为会完全不同。
为什么长期合同能省下大量监督成本。把 δ 抬上去，比雇一堆人来查便宜得多。同理，供应商愿意为「进入长期合格供应商名录」付出很大代价，因为那等于把自己的 δ 锁高。
为什么快离职的人不好管。他的 δ 掉到接近 0，所有基于「以后」的约束同时失效。这不是人品问题，是算术。有经验的团队会用别的东西补：推荐信、行业口碑、可携带的声誉——这些都是在人为地把 δ 接回去。第 11 章专讲这件事。
为什么一次性的大额交易需要第三方。买房、跨境贸易、并购——这些交易的 δ 天然是 0，所以它们全都长出了托管、信用证、对赌条款这些机制。δ 不够的时候，就得花钱买一个替代品。
「只要还有下一次，人们就会合作。有后果就有约束。」
「还有下一次」不是二元的，它是一个量。而这个量必须跨过一个具体的门槛，合作才站得住。δ = 0.6 和 δ = 0.7 是两个世界，尽管两者都满足「还有下一次」。
更要命的是第 8 章那个塌方：如果关系有一个大家都知道的终点，那么在最后一期，δ 实际上是 0，背叛是最优的；倒数第二期的人算到这一点，也背叛；一路塌回第一期。一个确定的截止日期，能让一段本来撑得住的合作提前几个月就开始腐烂。
所以现实里的很多制度设计在刻意模糊终点：合同自动续期、任期没有硬性上限、退休后的返聘可能性。这不一定是为了别的，就是为了别让那个塌方启动。
正确答案是 B：用记仇策略，门槛是 δ* = 1/2，也就是「平均还剩 2 次」。而如果你用的是更宽容的以牙还牙，门槛升到 δ* = 2/3，也就是「还剩 3 次」。
A 「只要还有下一次就够了」——这是把「有约束」和「约束够大」混为一谈。δ = 0.3 时确实还有下一次，但背叛一次赚的 2 分，比往后所有惩罚加起来还多。 C 「大约还剩 3 次」——这是以牙还牙的答案。如果你在心里默认的策略是「回敬一次然后翻篇」，选 C 完全正确。这两个数的差别正是这一章想让你看见的：惩罚有多狠，决定了关系要多长。 D 「十几次以上」——高估了。人们常常高估维持合作所需要的关系长度，因为直觉上会把「合作」和「深厚感情」联系起来。其实撑住合作不需要感情，只需要一个大于 1/2 的数。你手上有一段 δ ≈ 0.4 的关系（比如一个只做一单的外包），合作撑不住。你不想（也没法）加罚款。改什么？
一单做完就散 ⇒ δ ≈ 0.4 < 1/2 ⇒ 对方偷工减料是最优应对，你只能靠验收硬扛。 把一单拆成四期交付、款项分期支付 ⇒ 每一期结束时都还有「下一期」⇒ 有效 δ 抬到 0.75 以上 ⇒ 合作站得住，验收成本大幅下降。注意这个动作什么都没多花：同样的钱、同样的活、同样的人。它只是把一次博弈切成了四次。
这一章的一句话
「未来还剩多少」是所有机制里最便宜的一个；而它有一个可以算出来的门槛，宽容的策略需要更长的未来。
下一章把这些策略放进一场真的循环赛：十六个选手，两两对打两百轮，看谁总分最高。结果有两个很不舒服的地方。第一，冠军单挑一场都没赢过，还输了 6 场。第二，那个在单挑里赢了 13 场、一场没输的选手，总分排最后一名。