14 第二价格的魔法

▷ 轮到你

一件东西要卖，几个人密封投标，出价最高的人拿走。你心里觉得它值 60。

现在有两种规则：

第一价格：赢家付自己写的那个数；
第二价格：赢家付第二高的那个数。

问：在第二价格的规则下，你该写多少？

A 写 60（照实）。既然只付第二名的价，写实话不吃亏 B 写高一点，比如 75。反正付的是第二名的价，写高只是提高中标概率，不会多花钱 C 写低一点，比如 50。留点利润空间 D 得看有几个对手。人多写高点，人少写低点

B 这个答案有一半是对的，而错的那一半正是这一章的重点。

先看第一价格：为什么必须撒谎

第一价格拍卖里，你写多少就付多少。如果你照实写 60，那么：

你赢了 —— 付 60，拿到一件你觉得值 60 的东西，净赚 0；
你输了 —— 净赚 0。

不管怎样都是 0。照实报价在第一价格拍卖里是一件毫无意义的事——赢了也是白赢。

引擎跑了 20 万次模拟（5 个买家，估值均匀分布）来核实这句话：

第一价格拍卖，5 个买家
  照实报价的期望利润         0
  按均衡压价 (n−1)/n·v 的期望利润   0.0332

✓ 照实报价的利润精确地是 0，不是「接近 0」。

所以在第一价格下你必须往下压价。压多少？这是个技术活：压太狠会输掉，压太少不赚钱。均衡的答案是压到 (n−1)/n 倍——五个人的时候写你估值的 80%。

请注意这件事的成本：你必须去猜有几个对手、他们是什么水平。猜错了就亏。这意味着第一价格拍卖里，赢的人未必是最想要的人，可能只是最会猜的人。

第二价格：把「付多少」和「写多少」拆开

现在换规则：赢家付第二高的那个数。

关键的变化是：你写的数决定你赢不赢，但不决定你付多少。这两件事被拆开了。

于是可以这样想你写的那个数：它其实是在回答一个问题——「价格涨到多少，我就不想要了？」而这个问题的答案，就是你心里的估值。写别的数，等于在回答一个错误的问题。

把它穷举一遍。设你的估值是 v，别人的最高出价是 h（你不知道 h 是多少，但它已经定了）。

如果你写高了（写 b > v）

h 落在哪	照实写 v 的结果	写 b 的结果	差别
h < v	赢，付 h，赚 v − h > 0	赢，付 h，赚 v − h	一样
v < h < b	输，赚 0	赢，付 h，赚 v − h < 0	亏了
h > b	输，赚 0	输，赚 0	一样

写高的唯一效果，是让你在本来就该输的时候赢下来——而那时候价格已经超过了你的估值，赢了是亏的。

如果你写低了（写 b < v）

h 落在哪	照实写 v 的结果	写 b 的结果	差别
h < b	赢，付 h，赚 v − h	赢，付 h，赚 v − h	一样
b < h < v	赢，付 h，赚 v − h > 0	输，赚 0	白白丢掉一笔利润
h > v	输，赚 0	输，赚 0	一样

写低的唯一效果，是让你在本来能赚钱的时候丢标。

两张表合起来就是完整的证明：偏离照实报价，最好的情况是打平，最坏的情况是亏。而且这个结论完全不依赖别人怎么出价——不管 h 是多少，结论都成立。

用第 1 章的话说：照实报价是占优策略。你连猜对手都不用。

✎ 术语正名

这套规则叫维克里拍卖，来自 William Vickrey 1961 年的论文。他因为这项工作在 1996 年获得诺贝尔经济学奖——领奖前三天去世了。

它还有一个更响的名字叫激励相容（incentive compatible）或者策略防伪（strategy-proof）：说实话是最优的，所以机制不需要防着人撒谎。

把这个词和这本书的书名接起来：策略防伪的意思就是「说实话的人永远不会后悔」。这也是为什么这一章放在这本书里——它是「后悔」这个概念在机制设计侧的完整体现。

英式加价：同一件事的另一副面孔

你可能觉得第二价格是个很人造的规则。其实你见过它，只是没认出来。

拍卖行的举牌加价就是它：价格一路往上抬，受不了的人退出，最后剩一个人。他付的是倒数第二个人退出时的价格——也就是第二高的估值。

而在这种拍卖里，「你该什么时候退出」的答案显然是：价格超过你的估值时。这就是照实报价。

所以第二价格密封拍卖只是把这个过程封进了一个信封：结果完全一样，只是不用现场喊。这两者的等价性也是 Vickrey 那篇论文的内容之一。

▸ 在现实里

eBay 的代理出价就是第二价格：你填一个上限，系统自动帮你以最小加价幅度竞价，直到超过你的上限为止。成交价是第二高上限加一个最小加价。所以在 eBay 上「填你真实的心理价位」在理论上是最优的——虽然实践中还有狙击出价这类现象，那是因为其他因素（比如出价会暴露信息、或者估值会随别人出价而变）。

互联网广告是第二价格最大的应用场景，规模以千亿美元计。不过要小心：真实的广告拍卖用的通常不是纯粹的第二价格，而是它的一个变体——下一章的下一章（第 16 章）会专门讲这件事，那里照实报价不再是最优的。

频谱拍卖。各国分配移动通信频段用的拍卖机制，很多都建立在这套理论上。1994 年美国 FCC 那次拍卖是机制设计第一次大规模的实战，参与设计的经济学家里就有后来拿诺奖的 Milgrom 和 Wilson（他们在 2020 年因拍卖理论获奖）。

不适用的地方也很重要。第二价格的漂亮性质依赖两条：估值是私人的（你值多少跟别人无关），并且没有合谋。前者在艺术品、公司并购这类场合常常不成立（别人抢得凶，往往说明它真的更值钱）；后者在参与者少、反复见面的场合很容易被打破——第二价格恰恰特别怕合谋，因为合谋者只要压低第二高的报价就能直接压低成交价。

✗ 这个直觉是错的

「第二价格拍卖对卖家不利：赢家只付第二名的价，卖家少收了钱。」

这是关于拍卖最普遍的一个误解，而它错在只看了「付多少」，没看「报多少」。

在第一价格下，所有人都会往下压价（五个人的时候压到 80%）。在第二价格下，所有人照实报价，但只付第二名的价。一边是「高价的 80%」，一边是「实价的第二名」——最后卖家收到的钱居然一样多。

这不是巧合，是一条定理。下一章会把四种完全不同的拍卖规则并排跑 20 万次，四根柱子撞在同一个数上：0.666667。

◇ 摊牌

正确答案是 A：照实写 60，而且这是占优策略——不管有几个对手、他们出多少，这都是你的最优应对。

B 「写 75，反正付第二名的价」——前半句对，后半句漏了一种情况。当第二名的价落在 60 到 75 之间时，你会赢下一件你只觉得值 60 的东西，然后付 60 以上的钱。这个错误在真实拍卖里代价很实在：「赢了但亏了」正是它的名字。 C 「写 50 留利润空间」——这是把第一价格的直觉搬了过来。在第一价格下压价是对的；在第二价格下，你写的数不影响你付多少，压价只会让你在 50 到 60 之间白白丢掉本来能赚的钱。 D 「得看有几个对手」——在第一价格下这是对的（压价幅度正是 (n−1)/n，明确依赖 n）。而第二价格最珍贵的性质恰恰是：你不需要知道 n，不需要知道对手是谁，不需要猜。这个「不需要知道」正是机制设计追求的东西——它让机制在你不了解参与者的时候也能工作。

◆ 换你定规则

你要在公司内部分配一个稀缺资源（比如一批 GPU 机时）。各团队都说自己非常需要，你没法核实。怎么办？

让大家填「需求紧急度 1–10」⇒ 所有人填 10 ⇒ 你什么信息都没得到，只能拍脑袋分。给每个团队一笔虚拟预算，用第二价格拍卖分配机时 ⇒ 照实报价成为占优策略 ⇒ 你不但把资源分给了真正最需要的人，还顺便得到了一份可信的紧急度排序。

请注意最后那句：一个好机制的副产品是信息。它不只是分配了东西，它还让你知道了原本没法知道的事——而且是靠让人们自愿说实话，不是靠审计。

这一章的一句话

想知道别人心里的数字，不要去问、不要去查，去设计一个「说实话对他最好」的规则；而第二价格的全部秘密，是把「你写多少」和「你付多少」拆开。

下一章是这本书的招牌之一。同一批买家、同一件东西、四种完全不同的拍卖规则——第一价格密封、第二价格密封、英式加价、以及一种连输的人都要掏钱的全支付拍卖。它们的出价方式天差地别，成交过程毫无共同之处。而卖家最后收到的钱，四个数撞在一起：0.6666、0.6670、0.6670、0.6678，闭式解是 0.666667。