15 同一批人，四种拍卖，收入一样

▷ 轮到你

你要卖一件东西，有 5 个潜在买家，每个人心里的估值你不知道。四种规则可选：

第一价格密封：各写一个数封起来，最高者中标，付自己写的数；
第二价格密封：同上，但付第二高的数；
英式加价：现场一路往上抬，受不了就退出，最后一人留下；
全支付：所有人都要付自己写的数，但只有最高者拿到东西。

问：哪种规则能让你（卖家）收到最多的钱？

A 第一价格。赢家付自己写的价，肯定比付第二名的价高 B 全支付。所有人都掏钱，那还用问吗 C 英式加价。现场气氛能把人抬上头 D 四种一样多

先把四种规则下的出价算出来

每种规则下，理性的买家出价方式完全不同。设你的估值是 v，一共 n 个买家（估值互相独立、均匀分布在 0 到 1 之间）：

规则	均衡出价	n = 5、v = 0.8 时写多少
第二价格密封	照实：`v`	0.8000
英式加价	撑到 `v` 再退出	0.8000
第一价格密封	压到 `(n−1)/n · v`	0.6400
全支付	压到 `(n−1)/n · vⁿ`	0.2621

差别巨大。同一个估值 0.8 的人，在第二价格里写 0.8，在全支付里只写 0.2621——不到三分之一。

全支付为什么压得这么狠？因为输了也要掏钱。所以你只在很有把握赢的时候才敢多出——那个 vⁿ 就是「我是最高的」这件事的概率。

然后跑 20 万次

下面这台引擎每次随机抽 5 个估值，让每个买家按上面的均衡出价，四种规则各跑一遍，记录卖家收到多少钱。跑 20 万次取平均：

规则              卖家平均收入     东西给到最想要的人
  第一价格密封       0.6666            100.00%
  第二价格密封       0.6670            100.00%
  英式加价           0.6670            100.00%
  全支付             0.6678            100.00%

  闭式解             0.666667

# 四个数撞在同一个地方，误差全在蒙特卡洛的抖动里。

这不是巧合

这条结果叫收入等价定理，Vickrey 在 1961 年给出了特例，Myerson 和 Riley–Samuelson 在 1981 年给出了一般形式。它的条件是四条：

每个买家的估值是私人的，并且互相独立；
买家风险中性；
东西最后给到估值最高的人；
估值最低的那种买家期望收益为 0（他参加与不参加一样）。

满足这四条的任何拍卖规则，卖家的期望收入都一样。

直觉是这样的：卖家的收入等于「东西的总价值」减去「买家们赚走的部分」。第三条钉死了总价值（东西总是给最想要的人），第四条钉死了起点，而买家赚走多少完全由「他多出一点能提高多少中标概率」决定——这一项在所有规则下是一样的。换句话说，规则改变的是钱怎么流，不是流多少。

公式是 (n−1)/(n+1)。5 个买家时是 4/6 = 0.666667，正好对上。

◆ 这一章真正的用处

收入等价定理最有价值的地方不是它成立的时候，是它失效的时候。

它给了你一张清单。如果有人告诉你「换成某某拍卖能多赚钱」，那么必然是四个条件里有一条被打破了。去找是哪一条：

买家怕输（风险厌恶）？那第一价格更赚——怕输的人会少压一点价。
买家的估值互相关联（这东西值多少，取决于别人觉得它值多少）？那英式加价更赚——公开退出的过程会释放信息，让人敢出更高。这叫「链接原则」。
买家不对称（有的强有的弱）？那第一价格可能更赚，因为它让强者不敢太放松。
可能合谋？那第一价格更安全——第二价格特别怕合谋。

这就是理论的正确用法：不是记住结论，而是记住它的边界，然后在现实里去找边界被越过的地方。

那卖家到底该动什么

既然换规则不赚钱，能赚钱的是什么？答案是保留价——低于某个价就不卖。

引擎把这笔账算了出来（估值均匀分布在 0 到 1 之间）：

买家人数 n	没有保留价	保留价 0.5	多赚
2	0.333333	0.416667	+25.00%
3	0.500000	0.531250	+6.25%
5	0.666667	0.671875	+0.78%
10	0.818182	0.818271	+0.01%

两件事值得注意。

第一，最优保留价是 0.5，而且跟买家人数无关。不管来了 2 个人还是 100 个人，最优保留价都是估值分布的同一个位置。这个结论一开始很反直觉——人多的时候难道不该抬高门槛吗？不该，因为保留价的作用是对付「只有一个人来」的情况，人多的时候它几乎用不上。

第二，它值多少钱强烈依赖人数。两个买家时保留价能多赚 25%，十个买家时只有 0.01%。

换成人话：买家少的时候，定价学问值钱；买家多的时候，定价学问一文不值。

那多请一个买家值多少钱

顺着上面那句话往下推一步，会得到这一章最实用的结论。

比较两件事：

你有 2 个买家，并且把最优保留价用到极致 → 收入 0.4167
你有 3 个买家，什么都不设，就普普通通拍 → 收入 0.5000

多请来一个买家，胜过把定价学问做到极致。而且是明显胜过：0.5 比 0.4167 高 20%。

这不是这组数字的巧合。Bulow 和 Klemperer 在 1996 年证明了一个一般的结论：一场有 n+1 个买家的普通英式拍卖，收入不低于任何一种有 n 个买家的最优机制。不管你的机制设计得多精妙。

这条定理值得裱起来，因为它对任何做生意的人都直接可用：与其花力气优化定价策略，不如花力气多找一个真买家。

▸ 在现实里

全支付拍卖比你以为的常见。所有「投入了但没赢就血本无归」的竞争都是它：投标做方案的成本、专利竞赛的研发投入、排队抢购花掉的时间、游说和公关的开销、体育比赛的训练。这类竞争有一个残酷的性质——参与者的总投入可能远超奖品的价值，因为每个人只算自己的账。这在文献里叫「租值耗散」。

为什么房产中介急着造出多个买家。Bulow–Klemperer 就是答案：一个买家变两个，比任何议价技巧都值钱。反过来，作为买家，你最该做的事是让卖家相信没有别人在抢。

为什么招标要求「至少三家投标」。同样的算术。而这也解释了围标的危害为什么这么大：它不是让价格「稍微高一点」，它是把 n 直接砍回 1，让保留价之外的一切机制全部失效。

✗ 这个直觉是错的

「设计一个更聪明的拍卖规则，就能榨出更多的钱。」

在标准条件下，不能。这就是收入等价定理。你能改的是钱怎么流（谁在什么时候付）、风险怎么分、过程好不好受，但不是流多少。

真正能改变收入的只有三件事：改变参加的人数（Bulow–Klemperer）、设保留价（在人少时值钱）、或者让四个前提中的某一条不成立（这时才轮到规则选择起作用）。

这条「✗」的普适版本是：当你发现换一种形式就能凭空多赚钱时，先怀疑自己是不是漏算了某个前提。大多数时候，收益不是从形式里变出来的，是从某个被你忽略的地方转移过来的。

◇ 摊牌

正确答案是 D：四种一样多，都是 0.666667。

A 「第一价格付得多」——只看了「付多少」，忘了「报多少」。第一价格下所有人都会把价压到 80%，压掉的那部分正好抵消了「付自己报的价」带来的好处。这是这道题最常见的错法，也正是上一章那条「✗」讲的东西。 B 「全支付所有人都掏钱」——同样只看了一半。正因为输了也要掏钱，大家出价压得极狠（估值 0.8 的人只写 0.2621）。五个人的报价加起来，恰好还是那个数。 C 「现场气氛能把人抬上头」——这个答案很有意思，因为它在现实里可能是对的，只是理由不在模型里。模型假设买家理性且估值是私人的；一旦买家会互相影响（看到别人抢就觉得东西更值钱），或者会上头，英式加价确实可能收得更多。这正是上面那张「定理失效清单」的用法：它不是错的，它是打破了第一条前提。

◆ 换你定规则

你在卖一件东西，只找到 2 个买家。预算有限，只能做一件事：请一位拍卖顾问来优化规则，还是花同样的钱多找一个买家？

2 个买家 + 最优保留价 = 0.4167（这已经是理论上限，顾问再厉害也超不过）。 3 个买家 + 什么都不做 = 0.5000。高 20%，而且不需要任何专业知识。

这条建议听起来太朴素了，朴素到不像一个需要诺奖级理论支撑的结论。但正是因为有那条定理，你才知道「优化规则」这条路的上限在哪里——否则你永远会怀疑是不是自己还不够聪明。知道上限，才知道该往哪里花力气。

这一章的一句话

换规则改变的是钱怎么流，不是流多少；能改变流多少的只有三件事——人数、保留价、以及某条前提被打破。

下一章看一个真实世界里价值千亿的拍卖：搜索广告位。它用的不是第二价格，而是一个看起来很像、实际上性质完全不同的变体。在那个机制里，第 14 章那条「照实报价是占优策略」不成立：引擎会当场算给你看，排第一的广告主主动把出价调低、让自己掉到第二位，利润从 200 涨到 720。