有些问题，天生就听不清
卷 I 讲的都是「误差怎么产生」。从这一章开始，问题换成「误差怎么被放大」——而放大倍数是两个独立的数相乘得来的。这一章讲第一个：它完全由问题本身决定，跟你写什么代码、用多少位精度、有多聪明，一点关系都没有。
考虑这个多项式（它的根一眼可见，就是 1 到 20 这二十个整数）：
p(x) = (x−1)(x−2)(x−3)…(x−20) 展开成系数形式： p(x) = x²⁰ − 210x¹⁹ + 20615x¹⁸ − 1256850x¹⁷ + … + 2432902008176640000
现在把 x¹⁹ 的系数从 −210 改成 −210.00000011920928955078125——也就是减掉 2⁻²³，相对改动是 0.00000000057（约十亿分之零点六）。其他十九个系数一个不动。
问：这二十个根会怎么样？
顺便预测：如果改用 100 位十进制精度重算，情况会好转吗？
把「敏感」变成一个数
先定义清楚。假设你要算 y = f(x)，而你手上的 x 有一点误差。条件数回答的问题是：输入的相对误差，会被放大几倍变成输出的相对误差？
κ = (输出的相对变化) / (输入的相对变化) = |Δy/y| / |Δx/x| 对可导的一元函数，取极限就是： κ(x) = | x · f′(x) / f(x) |
看几个具体的：
| 问题 | 条件数 | 说明 |
|---|---|---|
√x | 1/2 | 输入错 1%，输出错 0.5%。永远良态，开方是最安分的运算之一 |
x² | 2 | 错误翻倍，但也就翻倍 |
1/(1−x)，x→1 | |x/(1−x)| | x=0.99 时 κ=99；x=0.9999 时 κ≈10⁴ |
a − b，a≈b | (|a|+|b|) / |a−b| | ★ 这就是第 3 章。a=1, b=0.999999999 时 κ = 2×10⁹ |
tan x，x→π/2 | → ∞ | 在奇点附近，任何函数都病态 |
最后再看一眼减法那一行。第 3 章讲了半天的「灾难性相消」，在这套语言里就是一句话：「两个相近的数相减」这个问题，条件数是 2×10⁹。它不是某个算法写坏了，它是问题本身长成那样。
良态（well-conditioned）和病态（ill-conditioned）说的是问题，不是算法。这两个词在中文技术讨论里经常被拿去形容代码，那是用错了对象。
- 「这个问题是病态的」= 输入动一点，答案就跑很远。换算法救不了，换精度只能推迟。
- 「这个算法是不稳定的」= 问题本身没那么敏感，是你的算法自己把误差放大了。这个能救，而且通常免费。那是下一章的事。
κ 有时也叫「条件数」「病态程度」「敏感度」。这本书统一写 κ，并且永远指「相对」条件数。
威尔金森的二十个根
1963 年，英国数值分析家 James Wilkinson 在检验一个自己写的求根程序时，拿了个看起来最无害的例子来测：根是 1 到 20 的多项式。他把系数存成机器数（当时是 30 位二进制尾数），跑了一遍，结果让他愣住了。
二十年后他写了一篇文章专门讲这件事，标题叫《背信弃义的多项式》（The Perfidious Polynomial，1984，获得了当年的 Chauvenet 奖）。他在里面说，这是他数值分析生涯里最令人震撼的一次经历。
下面是在这台机器上、用 2026 年的 numpy 重跑一遍的结果。x¹⁹ 的系数减掉 2⁻²³，其余不动：
# 扰动前：1, 2, 3, …, 20 （二十个整数） # 扰动后： ✓ 1.000000 ✓ 2.000000 ✓ 3.000000 ✓ 4.000000 ✓ 5.000001 ✓ 5.999995 ✓ 6.999772 ✓ 8.006981 ✓ 8.917724 ✓ 20.846908 ✗ 10.094982 ± 0.643556i ✗ 11.793686 ± 1.652561i ✗ 13.992435 ± 2.518874i ✗ 16.730762 ± 2.812625i ✗ 19.502444 ± 1.940328i ★ 二十个根里，十个离开了实数轴。
把 Wilkinson 当年发表的数字拿来对一下：他给出的那对最远的复根是 16.730 73 ± 2.812 62 i。上面这台机器算出来是 16.730762 ± 2.812625i——前六位相同。六十多年、两套完全不同的硬件和算法，撞在同一个数上。
（顺带说一句：剩下那点差异本身也是这一章的注脚。求这个多项式的根，问题本身就是病态的，所以连「标准答案」都只能对到六位。这不是谁算错了，是这个问题的信息量就只有这么多。）
为什么是这些根
每个根对某个系数的敏感度可以直接算出来。根 r 对 x¹⁹ 系数的敏感度是 |r¹⁹ / p′(r)|：
| 根 r | 敏感度 |r¹⁹/p′(r)| | |
|---|---|---|
| 1 | 8.22 × 10⁻¹⁸ | 纹丝不动 |
| 5 | 0.608 | 还好 |
| 10 | 7.59 × 10⁶ | 开始不行了 |
| 15 | 2.12 × 10⁹ | |
| 16 | 2.41 × 10⁹ | ★ 最敏感的一个 |
| 17 | 1.90 × 10⁹ | |
| 20 | 4.31 × 10⁷ | 两头的根反而稳一些 |
系数动了 2⁻²³ ≈ 1.19×10⁻⁷，乘上根 16 的敏感度 2.41×10⁹，得到 287——按线性估计，根 16 应该跑出去两百多。当然它没跑那么远（线性估计在这个尺度上早就失效了），但方向是对的：这些根根本没打算待在原地。
为什么中间的根最敏感？因为 p′(r) 是「r 到其他所有根的距离之积」。根 16 的两边各有十九个根挤着，它被夹在中间，距离乘积最小，分母最小，敏感度最大。根挨得越近，越难分辨。这个几何图像在别处也成立——第 16 章的最小二乘、机器学习里的共线特征，都是同一件事。
条件数是问题自己的属性，不是你的代码的属性。
这句话有一个很硬的推论，也是这一章唯一需要记住的东西：
如果 κ = 10¹⁰，而你的输入只有 16 位有效数字，那么你的答案最多只能有 6 位是对的——无论你怎么算。换 100 位精度也不行：输入还是那个输入，它的最后一位仍然是不确定的，而问题会把这份不确定放大 10¹⁰ 倍。
这是一条信息论意义上的天花板，不是工程质量问题。撞到它的时候，正确的反应不是「优化代码」，是换一个问法。
这个实验值得亲手做一次，因为「输入改了十亿分之一，输出面目全非」这件事光看数字是没有体感的：
import numpy as np
coef = np.poly(np.arange(1, 21, dtype=float)) # (x−1)(x−2)…(x−20) 的系数
print('x^19 的系数 =', coef[1]) # −210.0
pert = coef.copy()
pert[1] -= 2.0 ** -23 # 只改这一个，改动十亿分之零点六
for z in sorted(np.roots(pert), key=lambda z: (round(z.real, 6), z.imag)):
print(f'{z.real:10.6f} {z.imag:+.6f}i' if abs(z.imag) > 1e-9 else f'{z.real:10.6f}')
然后把 2.0 ** -23 换成 0 跑一遍作对照，会看到二十个漂亮的整数。再把扰动换成 1e-30——根就回来了，因为这时扰动小于 double 本身的抹零量，加了等于没加。
pip install numpy && python3 wilkinson.py
不想装 numpy 的话，用 Google Colab 新建一个笔记本，numpy 是预装的，粘上去直接跑。
条件数这个概念的适用面远远超出数值计算。它其实是一句关于任何测量与推断的话：你的结论对输入有多敏感？
- 民调。「±3% 误差」说的是输入扰动。如果你要的结论是「谁领先」，而两人差距是 1%，那么这个问题的条件数很大——3% 的输入误差会把结论完全翻转。报道里说的误差范围，和你真正关心的那个结论的误差范围，是两个数。
- A/B 测试。转化率从 2.00% 到 2.06%，这是「两个相近的数相减」——第 3 章那个 κ = 2×10⁹ 的问题。这就是为什么小提升需要巨大的样本量：不是统计学在为难你，是这个问题本身就病态。
- 对抗样本。一张熊猫图片加上人眼看不见的扰动就被分成长臂猿，这在数值语言里就是一句话：这个分类函数在这一点上的条件数极大。对抗训练本质上是在压低这个条件数。
- 期权定价。金融从业者天天算的 Greeks（Delta、Vega、Gamma）就是条件数——「标的动 1%，期权价动几个百分点」。他们比数值分析师更早、更本能地在用这套语言。
- 复盘和归因。「如果当时不那样做，结果会怎样」——反事实推理的条件数往往极大，而且没人算过。第 3 章的判据在这里同样适用：你的结论是不是从两个相近的大数里减出来的？
「算不准，那就是算法不够好／精度不够高。找个更好的库，或者上更高精度。」
这句话默认了「答案是可以算准的，只是我没算好」。但当 κ 很大时，答案本身就没有那么多位可以算——你的输入里就不含那些信息。
威尔金森那个例子里，用 100 位十进制重算不会有任何帮助：被改动的那个系数已经改了，100 位精度只会让你更精确地算出「那个被改过的多项式」的根，而它的根确实就在复平面上。你算得越准，越准确地得到那个错答案。
正确的反应有三种：① 换一个数值上更稳的表示（别把多项式展开成系数，保留因子形式）；② 换一个问法（不问「根在哪」，问「根大概在哪个区间」）；③ 接受它，并如实报告只有几位可信。第三种最常被跳过，也最重要。
正确答案是 C：十个根离开实数轴，最远的一对是 16.730762 ± 2.812625i。换 100 位精度不会有任何帮助。
A 「输入改了十亿分之零点六，输出也就在那个量级上动」——这句话默认 κ ≈ 1。这是个非常自然的默认，日常生活里绝大多数量都是这样的（体重多 1%，BMI 就多 1%）。这本书要做的事，很大程度上就是把这个默认从「总是」降格成「有时」。根 16 的敏感度是 2.41×10⁹。 B 「最大的那个根动得最多」——很合理的猜测，可惜正好反了。动得最多的是中间的根，因为p′(r) 是「到其他所有根的距离之积」，中间的根被夹得最紧，分母最小。两头的根（1 和 20）反而稳：根 1 的敏感度只有 8.22×10⁻¹⁸，怎么扰都不动。
D 「全部变成复数」——过头了。前四个根（1、2、3、4）连小数点后六位都没动。病态是局部的，不是整体的：同一个问题，有些部分的答案很可靠，有些部分一位都不可信。这一点在实践中很重要——不要因为一处病态就把整份结果全丢掉，也不要因为大部分对就相信全部。
病态是问题的属性，改不了算法就改表示——同一个数学对象，换一种存法，条件数可以完全不同：
把多项式存成系数数组[1, −210, 20615, …]，然后调求根函数。系数形式对根来说是极度病态的表示。
存成根／因子形式 [(x−1), (x−2), …]，或者用 Chebyshev 基（数值上比幂基好几个数量级），或者直接存伴随矩阵。同一个多项式，换个基，κ 差好几个数量级。
这一招在别处也成立：
- 存角度和长度，而不是存两个坐标再去相减（第 3 章的 GPS）。
- 存 log 概率，而不是存概率再连乘（第 11 章）。
- 存增量，而不是存绝对值再去差分（时间序列、版本控制、事件溯源）。
通则是：把你真正关心的那个量，直接存成一个变量，而不是让它作为两个大数的差出现。
这一章的一句话
条件数是问题写给你的一张字条，上面写着「我最多能给你几位」；它不看你的代码，只看你问了什么。
下一章讲放大倍数的另一半，也是你唯一能动的那一半：算法的稳定性。那里有一个听起来很奇怪的定义——一个好算法的标志，不是它给出准确的答案，而是它给出的答案「恰好是某个邻近问题的精确答案」。顺着这个定义，会得到一条能直接用的经验公式：前向误差 ≲ 条件数 × 后向误差。下一章会把它在六组数据上逐行验一遍，每一行都成立。