你手里那把尺子

最后一个动手位，是这本书唯一一个可以用在你自己代码上的：扰动实验。它不需要知道条件数的定义，也不需要任何库。

import random

def sensitivity(f, x, rel=1e-8, trials=200):
    """把输入各自扰动 rel，看输出最多动多少倍。这就是条件数的实测版。"""
    y0, worst = f(x), 0.0
    for _ in range(trials):
        xp = [v * (1 + rel * random.uniform(-1, 1)) for v in x]
        y = f(xp)
        if y0 != 0:
            worst = max(worst, abs(y - y0) / abs(y0) / rel)
    return worst

one = lambda a: sum(v*v for v in a) / len(a) - (sum(a) / len(a)) ** 2   # 一遍法
two = lambda a: (lambda m: sum((v-m)**2 for v in a) / len(a))(sum(a)/len(a))  # 两遍法

for base, name in ((0.0, 'data = 0..49'), (1e6, 'data = 1e6+i'), (1e9, 'data = 1e9+i')):
    random.seed(1)
    d = [base + i for i in range(50)]
    print(name)
    print('   求和       ', '%.3g' % sensitivity(lambda a: sum(a), d))
    print('   两遍法方差 ', '%.3g' % sensitivity(two, d))
    print('   一遍法方差 ', '%.3g' % sensitivity(one, d))

会打出：

data = 0..49
   求和        0.266
   两遍法方差  1.1
   一遍法方差  0.917
data = 1e6+i
   求和        0.257
   两遍法方差  3.69e+04
   一遍法方差  2.71e+04
data = 1e9+i
   求和        0.257
   两遍法方差  5.4e+07        ★ 换算法也救不了
   一遍法方差  1.5e+08

这张表比预期的更值钱，因为它同时说了两件事：

• 求和永远良态（κ ≈ 0.26，三份数据都一样）。这类计算可以放心不管。
• 当均值远大于标准差时，「方差」这个量本身就是病态的——两遍法的 κ 是 5.4×10⁷。第 10 章说一遍法公式不好，这里补上更重要的下半句：换成两遍法只是不再算出负数，它并没有让这个问题变得可信。如果你的原始数据带 10⁻⁸ 的相对误差（任何测量数据都带），那么它的方差最多只有半位可信。

把 f 换成你自己的函数，x 换成你自己的输入。这二十行是这本书里最该被复制走的东西：它不告诉你答案对不对，它告诉你这个答案值不值得相信。

python3 sensitivity.py

在线：python.org/shell。它对任何语言、任何函数都适用，包括不是数值计算的那些——把「输入」换成配置参数、超参数、业务假设，一样能跑。