DDM 股利折现模型 · 完全教程
从「为什么」到「怎么算」再到「考场怎么用」—— 一次讲透 Dividend Discount Model 的全部核心考点
Topic 8: Equity · Brealey Ch. 6目录 Contents
🏠 先打个比方：买房子 vs 买股票
你愿意花多少钱买一套出租房？答案是：你未来能从这套房子收到的所有租金的「今天的价值」（现值）。
股票完全一样。你买一只股票，未来能收到的现金只有两种：
① 股利 Dividend —— 公司每年分给你的钱（类似租金）
② 卖出价 Selling Price —— 你卖掉股票时收到的钱
所以一只股票「应该值多少钱」= 你未来能收到的所有现金流的现值。
📐 用数学写出来：一期模型
假设你今天买入一只股票，打算持有一年：一年后收到股利 $DIV_1$，然后以 $P_1$ 卖出。你的「必要回报率」是 $r$。
你今天最多愿意出多少钱（即公允价格 $P_0$）？
翻译成中文就是：今天的价格 = 明年股利的现值 + 明年卖价的现值
🔗 关键推导：P₁ 又是怎么来的？
问题来了：$P_1$（明年的卖价）又是由什么决定的？
假设你卖给了投资者 B，B 也打算持有一年。那对 B 来说：
$$P_1 = \frac{DIV_2}{1+r} + \frac{P_2}{1+r}$$把这个代入第一个公式：
任何股票的「真实价值」= 它未来所有股利的现值之和。
这就是 DDM 的第一性原理。不管你打算持有一天还是一百年，都不影响这个结论——因为你的卖价最终也取决于买家未来能收到的股利。
这也是为什么考试会问「即使投资者更在意资本利得，DDM 仍然成立」—— 因为资本利得（股价上涨）本身就是由未来股利支撑的。2023 Q21 · 2024 Q11
从无穷求和到一个简洁公式
Module 1 的结论是 $P_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{DIV_t}{(1+r)^t}$。但这是无穷项求和，没法直接算。
如果我们做一个合理的简化假设：股利以固定比率 $g$ 永远增长，即 $DIV_t = DIV_1 \times (1+g)^{t-1}$，那么这个无穷和就变成了一个增长型永续年金（growing perpetuity），数学上可以化简为：
其中：
| 符号 | 含义 | 注意点 |
|---|---|---|
| $P_0$ | 今天的股价（公允价值） | — |
| $DIV_1$ | 下一年的股利 | ⚠️ 是下一年的，不是刚发的！ |
| $r$ | 折现率 / 必要回报率 | 通常用 CAPM 算出来 |
| $g$ | 股利的永续增长率 | 必须 $r > g$，否则公式无意义 |
题目经常给的是「刚发的股利 $DIV_0$」（"has just paid" / "most recent dividend"），不是「下一年的股利 $DIV_1$」。
如果给的是 $DIV_0$，你要自己往前推一年：
$$DIV_1 = DIV_0 \times (1 + g)$$如果题目说 "expected dividend" / "forecast dividend for next year"，那给的直接就是 $DIV_1$，不用再乘。
题目
某建筑公司刚发了每股 $1.20 的股利。投资者要求 12% 的回报率，股利预计以 3% 的速度永远增长。求公允股价。
解题
题目
某广告公司预计明年发股利 $2.50/股。股利预计以 2% 永远增长。该行业 $\beta = 1.36$，无风险利率 1%，市场风险溢价 5%。求公允股价。
解题
$r - g$ 越小，股价越高。想想看：如果必要回报率 $r$ 只比增长率 $g$ 高一点点，说明投资者愿意接受很低的「额外报酬」，自然愿意出更高的价格。
极端情况：$r = g$ 时公式分母为零，股价→∞。这就是为什么 $r > g$ 是硬性条件——如果增长率能永远等于或超过折现率，股票就值无穷大，不现实。
关键思路：公式可以在任何时间点使用
Gordon Growth Model $P_0 = \frac{DIV_1}{r-g}$ 不是只能算「今天」的价格。
核心洞察：站在未来第 $n$ 年看，从第 $n+1$ 年起的所有股利仍然构成一个增长型永续年金。所以：
翻译：第 n 年末的股价 = 第 n+1 年的股利 ÷ (r − g)
而 $DIV_{n+1}$ 可以从已知的股利一路乘上去：
$$DIV_{n+1} = DIV_1 \times (1+g)^{n} = DIV_0 \times (1+g)^{n+1}$$🔄 另一种等价方法：股价本身也在以 g 增长
在常增长 DDM 的世界里，股价每年也恰好以 $g$ 的速度增长（因为分子 DIV 以 $g$ 增长，分母 $r-g$ 不变）。
两种方法算出来的 $P_n$ 完全一样，考试用哪个都行，选算起来更方便的。
题目
某股票现在卖 $35，必要回报率 15%，预计下一年股利 $2.80，股利常增长率 7%。一年后的股价应该是多少？
选项：A. $37.80 B. $37.45 C. $40.25 D. $43.05
解题 · 方法 A（推荐，最快）
答案选 B ✅
解题 · 方法 B（验证用）
📊 回报分解公式（Return Decomposition）
从一期估值公式 $P_0 = \frac{DIV_1 + P_1}{1+r}$ 出发，两边乘 $(1+r)$ 再除以 $P_0$，可以得到：
在常增长世界里，股价每年涨 $g$，所以 $\frac{P_1 - P_0}{P_0} = g$，于是：
$$\boxed{r = \frac{DIV_1}{P_0} + g}$$这个公式在 Module 4 中会成为反推 $r$ 的关键工具。
回报分解公式告诉我们：总回报 $r$ = 股利收益率 + 资本利得率 $g$。
有的投资者更在意股利（如退休基金），有的更在意股价涨幅（如成长股投资者），但无论偏好如何，$P_0$ 的计算不会改变——因为资本利得（股价能涨多少）本身就是由未来的股利增长决定的。这就是 2023 Q21 / 2024 Q11 那道论述题的标准答案要点。
从 Gordon 公式直接变形
Gordon Growth Model 是 $P_0 = \frac{DIV_1}{r-g}$。两边交换一下：
$\frac{DIV_1}{P_0}$ 就是股利收益率（dividend yield），$g$ 就是资本利得率。
这个公式的意思：你从一只股票赚到的总回报 = 每年收到的股利占价格的比例 + 股价每年涨幅。
什么时候会用到反推 r？
两种典型场景：
场景 1：直接算 r——题目给了 $P_0$, $DIV_1$（或 $DIV_0 + g$），和 $g$，让你求 $r$。
场景 2：先算 r 再算别的——比如用 CAPM 算出 $r$，再代入 Gordon Model 算 $P_0$（讲义 Example 2 就是这样）。
题目
某股票常增长率 3.3%，股价 $25，预计下一年股利 $2.10，P/E 比 14.4。必要回报率是多少？
选项：A. 11.70% B. 11.26% C. 12.40% D. 10.92%
解题
（P/E 比是干扰信息，这题不需要用它）
答案选 A ✅
反推 r 的题通常很快——只要认准 $DIV_1$（不是 $DIV_0$），直接除以 $P_0$ 再加 $g$ 就行。注意题目有时会放烟幕弹（如上题的 P/E 比），不要被带偏。
为什么需要两段增长？
常增长 DDM 假设股利以 $g$ 永远增长。但现实中很多公司会经历两个阶段：
阶段 1（前几年）：超常增长 $g_1$（比如 20%），因为公司正在快速扩张
阶段 2（之后永远）：稳定增长 $g_2$（比如 6%），公司进入成熟期
这时候你不能直接用 Gordon Model，因为前几年的增长率不等于之后的增长率。
🔧 解题套路：分两部分算，再加起来
假设超常增长持续 $T$ 年，之后切换为 $g_2$ 永续增长。
其中终端价值 $P_T$ 是用 Gordon Model 在第 $T$ 年算的：
$$P_T = \frac{DIV_{T+1}}{r - g_2}$$📋 三步走流程
从 $DIV_0$ 出发，前 $T$ 年每年乘 $(1+g_1)$，第 $T+1$ 年乘 $(1+g_2)$：
$DIV_1 = DIV_0 \times (1+g_1)$
$DIV_2 = DIV_1 \times (1+g_1)$
$\vdots$
$DIV_{T+1} = DIV_T \times (1+g_2)$ ← 注意这里用的是 $g_2$！
站在第 $T$ 年末，往后看是个常增长永续年金：
$$P_T = \frac{DIV_{T+1}}{r - g_2}$$最后一项 $P_T$ 也是在第 $T$ 年末收到的（因为那是你在第 $T$ 年末把股票卖掉的价格），所以折 $T$ 年。
$P_T$ 用的是 $DIV_{T+1}$，不是 $DIV_T$！
因为 Gordon Model $P = \frac{DIV_{\text{下一期}}}{r-g}$ 的分子永远是「下一期的股利」。站在第 $T$ 年末看，下一期就是第 $T+1$ 年。
而且 $DIV_{T+1}$ 是用 $g_2$ 算的（已经进入稳定阶段了），不要再用 $g_1$。
题目
ABC Limited 的普通股预计未来 2 年以 20%/年 超常增长，之后增长率稳定在 6%。折现率 15%，最近刚发的股利为 $2.50。求当前股价。
解题
$DIV_0 = 2.50$（"most recent dividend" = 刚发的）
$DIV_1 = 2.50 \times 1.20 = \$3.00$
$DIV_2 = 3.00 \times 1.20 = \$3.60$
$DIV_3 = 3.60 \times 1.06 = \$3.816$ ← 从第 3 年起用 $g_2 = 6\%$
注意第 3 步中，$DIV_2$ 和 $P_2$ 都是在第 2 年末收到的，所以可以先加起来再一起折现，少算一步。
📊 总结：什么时候用哪个模型？
| 场景 | 模型 | 公式 |
|---|---|---|
| 股利永远不变 | 零增长 DDM（永续年金） | $P_0 = \frac{DIV}{r}$ |
| 股利以固定 $g$ 永远增长 | 常增长 DDM（Gordon） | $P_0 = \frac{DIV_1}{r-g}$ |
| 前几年超常增长，之后稳定增长 | 两段增长 DDM | 先逐年算 + 终端价值，全部折现加总 |
某股票预计下一年股利 $5，必要回报率 20%，常增长率 6%。求当前股价。
选项：A. $37.86 B. $19.23 C. $25.00 D. $35.71
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识别："expected dividend" = $DIV_1 = 5$（不需要再乘 $(1+g)$）
$$P_0 = \frac{DIV_1}{r - g} = \frac{5}{0.20 - 0.06} = \frac{5}{0.14} = \$35.71$$答案选 D ✅
某股票常增长率 10%，必要回报率 16%，预计一年后卖 $50。你今天应该出多少钱买？
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分析：这题给的是 $P_1 = 50$，$g = 10\%$，$r = 16\%$。要求 $P_0$。
方法：利用 $P_1 = P_0(1+g)$，反解 $P_0$：
$$P_0 = \frac{P_1}{1+g} = \frac{50}{1.10} = \$45.45$$验证：如果 $P_0 = 45.45$，那 $DIV_1 = P_0 \times (r - g) = 45.45 \times 0.06 = \$2.727$。
检查回报：$r = \frac{DIV_1 + P_1 - P_0}{P_0} = \frac{2.727 + 50 - 45.45}{45.45} = \frac{7.277}{45.45} = 16.01\%$ ≈ 16% ✅
某股票当前价格 $25，第 1 年的股利收益率（dividend yield）预计为 5%，股利常增长率 6%。求第 4 年的股利。
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关键概念：Dividend yield for year 1 = $\frac{DIV_1}{P_0}$
注意：从第 1 年到第 4 年需要乘 3 次 $(1+g)$，不是 4 次！因为 $DIV_1 \to DIV_2$ 是一次，$DIV_2 \to DIV_3$ 是两次，$DIV_3 \to DIV_4$ 是三次。
如何解释「无论投资者偏好股利还是资本利得，DDM 都应该被接受为股票估值方法」？
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这道论述题的核心逻辑链：
🗺️ DDM 做题决策树
拿到一道股票估值题，按以下顺序判断：
→ 求 $P_0$（股价）？求 $r$（回报率）？求 $P_n$（未来股价）？求 $DIV_n$（未来股利）？
→ 无增长（$g = 0$） → 用 $P_0 = DIV/r$
→ 常增长（一个 $g$） → 用 Gordon Model $P_0 = DIV_1/(r-g)$
→ 两段增长（先 $g_1$ 后 $g_2$） → 逐年算 + 终端价值
→ "just paid" / "most recent" / "last dividend" → 这是 $DIV_0$，要乘 $(1+g)$ 得到 $DIV_1$
→ "expected" / "forecast" / "next year's dividend" → 这就是 $DIV_1$，直接用
→ 直接给了 → 拿来用
→ 没给，但给了 $\beta$, $r_f$, $r_m$ → 先用 CAPM 算 $r = r_f + \beta(r_m - r_f)$
→ 让你反推 → 用 $r = DIV_1/P_0 + g$