从汉明到二维码、SSD 和 5G
卷 IV 收尾。这一章把前四章的理论接到你今天摸得到的东西上，并给出一行式子——它解释了为什么 WiFi 二十年的演进是那个样子，而不是别的样子。
一个 20 MHz、信噪比 30 dB 的无线链路。下面两个改动，哪个提速更多？
从「翻位率」到「信噪比」
前四章的信道模型是「每一位有 p 的概率翻」。但真实的无线电波不是这样——它是一个连续的电压波形，混着热噪声。
香农和哈特利给出的连续信道版本是：
C = B · log₂( 1 + S/N ) C = 容量，比特/秒 B = 带宽，赫兹 S = 信号功率 N = 噪声功率（在带宽 B 内）
注意这两个变量在式子里的位置完全不同。
B 在括号外面，是线性的。带宽翻倍，容量翻倍。
S/N 在 log 里面，是对数的。信噪比翻倍，容量只多 1 比特每赫兹。
这个位置差别，就是那道题的全部答案：
| 方案 | 容量 | 提升 |
|---|---|---|
| 20 MHz，30 dB（基准） | 199.3 Mbps | — |
| 功率翻倍（20 MHz，33 dB） | 219.3 Mbps | +10.0% |
| 带宽翻倍（40 MHz，27 dB） | 358.9 Mbps | +80.0% |
注意第三行那个 27 dB：带宽翻倍时，总功率不变意味着每赫兹的功率减半（−3 dB）。就算付出了这个代价，它还是赢了 8 倍。
| 标准 | 年份 | 信道带宽 | 它主要动了什么 |
|---|---|---|---|
| 802.11b | 1999 | 22 MHz | — |
| 802.11n（WiFi 4） | 2009 | 40 MHz | 带宽翻倍 + MIMO |
| 802.11ac（WiFi 5） | 2013 | 80 / 160 MHz | 带宽再翻 + 更多流 |
| 802.11ax（WiFi 6） | 2019 | 160 MHz | OFDMA，把信道切给多用户 |
| 802.11be（WiFi 7） | 2024 | 320 MHz | 6 GHz 频段，带宽再翻 |
一路都在加带宽，从来没有靠加功率。（发射功率还受法规限制，而且加功率会缩短电池续航、增加干扰——它在每个维度上都是糟糕的选择。）
MIMO 值得单独说：多天线不是「喊得更大声」，它是开出多条在空间上互相独立的信道。在理想条件下，n 根发射天线配 n 根接收天线，容量近似乘 n——这相当于在「带宽」和「功率」之外找到了第三个可以线性增长的维度，所以它是过去二十年无线通信最大的一次跃升。
同一个道理解释了 5G 毫米波：60 GHz 附近有巨大的连续频谱可用（带宽），代价是穿墙能力极差（信噪比）。它是一次典型的「用信噪比换带宽」的交易，而这笔交易在算术上通常是划算的。
另一种错误：突发的
前面所有的模型都假设错误是独立随机的。现实里常常不是。
CD 上的一道划痕会连续毁掉几千个比特。无线链路的一次深衰落会连续吃掉一整段。闪存的一个坏块是整块坏。
汉明码对这种错误毫无办法——7 位里错 2 位它就崩了，更别说连错几千位。
解决办法有两个，而且通常一起用：
- 交织（interleaving）：把数据打散再发。发的时候按列写、按行读，收到之后再转回来。于是一段连续的突发错误，被摊成了很多个孤立的单错——正好是汉明码这类码擅长的。
- 符号级的码（Reed–Solomon）：不以「位」为单位，以「字节」为单位。一个字节里错几位都算「这个字节坏了一个」。于是突发错误天然被限制在少数几个符号里。
交织这个技巧值得单独记住，因为它体现了一个很通用的思路：如果你的工具擅长处理 A 型问题，而你面对的是 B 型，有时候最好的办法不是换工具，是把 B 变形成 A。
Reed–Solomon：活得最久的那个码
- CD / DVD / 蓝光。CD 用的是交叉交织 RS 码（CIRC）。标称能修复约 2.5 mm 的连续划痕——这就是为什么 CD 划一道还能放。
- 二维码。四个纠错等级 L/M/Q/H，分别能恢复大约 7% / 15% / 25% / 30% 的损坏。H 级下你可以在二维码正中间盖一个 logo，它照样扫得出来。（那个 logo 不是「留白」，它就是被当成损坏处理然后被 RS 码修回来的。）
- RAID-6 / 纠删码存储。把一个文件切成 n 块 + m 块校验，任意丢 m 块都能恢复。云存储的「11 个 9 的持久性」就建在这上面。而这本质上和 CD 修划痕是同一件事，只是「符号」从字节变成了整块硬盘。
- 深空通信。旅行者号用卷积码 + RS 级联。它现在在两百多亿公里外，信号功率到地球时只有约 10⁻¹⁶ 瓦，而我们仍然在接收数据。
SSD：一个每天都在悬崖边上的例子
闪存单元靠在浮栅里存电荷来记录数据。这些电荷会随时间泄漏，会被相邻单元的读写干扰，而且单元本身会随着擦写次数增加而磨损。
QLC 闪存（一个单元存 4 比特，要区分 16 个电压等级）在寿命后期的原始误码率可以达到 10⁻³ 甚至更差的量级——每一千个比特就有一个是错的。
而你看到的 SSD 未纠正错误率是 10⁻¹⁵ 到 10⁻¹⁷ 的量级。
中间那十几个数量级，全部由主控里的 LDPC 译码器顶着。而且它是分级的：先用快速的硬判决译码，不行再上慢的软判决（读多次、拿到每一位的置信度），再不行才报错。所以一块「老化」的 SSD 会先变慢，然后才坏——变慢就是它在反复重读、在软判决译码上花时间。
这件事很值得琢磨：整个消费级存储行业的经济性，建立在「可以用不可靠的介质 + 强大的编码，造出可靠的产品」这个香农式的判断上。没有这层码，QLC 闪存根本不可能上市。
这个误解在实际生活里有具体后果：
- WiFi 路由器摆位比功率重要得多。穿一堵墙可能损失 10–15 dB，而你能调的发射功率范围通常也就那么大。把路由器挪出柜子，比换一个「大功率」型号管用。
- 信号满格但网速慢，通常不是功率问题，是信道拥挤（相当于噪声 N 变大）或者带宽被限制。换个不拥挤的信道（尤其是 5 GHz / 6 GHz）比什么都有效。
- 「大功率信号放大器」这类产品，在多数场景下改善有限，而且它同时放大了噪声。
如果带宽无限大呢？容量会无限大吗？不会。
因为噪声功率 N = N₀·B 是正比于带宽的（热噪声在每赫兹上都有）。代进去取极限：
C = B · log₂(1 + S/(N₀B)) B → ∞ 时： C → S / (N₀ · ln2) ≈ 1.44 · S/N₀ # 容量收敛到一个有限值，只取决于【信号功率和噪声谱密度之比】。
把它变形，得到一个通信工程里最有名的常数：
每传一个比特，最少需要的能量： E_b / N₀ ≥ ln2 = 0.693 = 【−1.59 dB】 # 这叫【香农极限】，是所有通信系统的绝对下界。 # 现代 LDPC / Turbo 码已经能跑到离它 0.5 dB 以内。
注意这个式子的形状：「传一个比特最少要多少能量」——它有一个 ln2。
而第 22 章那个「擦掉一个比特最少要多少能量」，答案是 k·T·ln2。同一个 ln2。这两件事看起来毫不相干（一个是通信，一个是热力学），却共用同一个常数——因为它们量的是同一样东西：一个比特在这个宇宙里的物理代价。
而且带宽那一边还付出了信噪比减半的代价，仍然赢了 8 倍。
这道题的价值不在这个具体数字，在这个读式子的习惯：看到一个公式，先看每个变量在括号里面还是外面、在指数上还是在底数上。那决定了「花力气改它值不值」。
这个习惯在别处一样管用。比如深度学习里的 scaling law：loss 随参数量和数据量是幂律下降的——幂律意味着要让 loss 减半，规模要涨好几倍。看清楚这一点，你对「再堆十倍算力能带来什么」的预期就会现实很多。
这一章的一句话
C = B·log₂(1+S/N)。带宽在括号外，功率在 log 里——这一个位置差别，决定了整个无线通信二十年往哪个方向走。
卷 IV 结束。你现在有了一套完整的「一对一传输」理论：怎么把消息压到最小（卷 II、III），怎么在有噪声的线上可靠地送过去（卷 IV）。
卷 V 换一个问题。前面所有章节里，「信息」都是从一个地方流到另一个地方。但还有一种问法：两样东西之间「共享」多少信息？
这个问法会给出决策树砍第一刀的依据、解释为什么电影里那句「放大，增强」是假的，还会给「一条内幕消息值多少钱」一个用钱做单位的答案——而那个答案的公式，你在第 14 章已经见过了。