相位：被所有人扔掉的那一半
质心是平面上的一个点，它有长度也有方向。前面三章只用了长度——那正是所有教材封面上、所有音乐播放器里、所有「频谱图」这个词指的东西。这一章去看方向。看完你大概会觉得，我们集体扔掉的是更重要的那一半。
拿两张 32 × 32 的黑白图：一张画着大写字母 F，一张画着大写字母 T。各做一次二维傅里叶变换，各自得到 1024 个复数。
现在做一件很奇怪的事：把 F 那一套复数的长度（幅度），配上 T 那一套复数的角度（相位），拼成一套新的复数，再逆变换回来，画成一张图。
问：这张图看起来像什么？
相位是什么：那个被推来推去的起点
第 1 章说过，一个匀速旋转要三个数才描述得清：转速、半径、起始角。前两个我们已经用上了——转速是横轴的位置，半径是谱线的高度。起始角就是相位，它回答的是：时钟归零的那一刻，这个旋转站在哪儿。
用影子来说更直白：两条 3 Hz 的正弦，一条从 0 开始往上走，一条从最高点开始往下走。它们的频率一样、振幅一样，唯一的区别是在时间轴上被推了不同的距离。这个「推了多远」，就是相位。
把这件事量一下。取一个高斯形状的小鼓包，把它整体往右挪 5 个采样，再比较挪之前和挪之后的谱：
整体平移 5 个采样点之后： 幅度谱 |X[k]| 最大变化 4.4 × 10⁻¹⁶ ← 一点没变 相位 ∠X[1] 变化 −1.963495 理论值 −2π·5/16 −1.963495 ← 严丝合缝
这就是傅里叶最漂亮的性质之一，叫时移定理：
把信号整体平移，幅度谱一点都不变，全部变化都记在相位里。平移得越远，每根谱线的相位转得越多；而且转的量和频率成正比（第 k 根转 −2πkm/N）。
反过来说：幅度谱不知道任何东西在哪里。一段录音和它整体延迟三秒的版本，幅度谱完全相同；一张图和它平移过的版本，幅度谱完全相同。「在哪里」这件事，全部编码在相位里。
这已经足以让人不安了。因为对一张图来说，「东西在哪里」几乎就是全部内容——一张脸就是「眼睛在这儿、鼻子在那儿」。下面这个实验把这件事推到极限。
招牌实验：换脸
两张 32 × 32 的图。左边是 F，右边是 T：
原图 A（F） 原图 B（T） ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ......###################....... ....########################.... ......###################....... ....########################.... ......###################....... ....########################.... ......###################....... ....########################.... ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................
各做一次二维傅里叶变换（做法就是先对每一行做一次一维变换，再对每一列做一次）。然后交叉拼装：
- 左边：拿 A 的幅度（每个复数的长度），配 B 的相位（每个复数的角度）。
- 右边：拿 B 的幅度，配 A 的相位。
各自逆变换回来。为了在字符里看清楚，两张重建图都按「和它要比对的原图相同的填充率」取阈值做了二值化（F 的填充率 19.5%，T 的 17.2%）——这一步只是显示手段，不改变下面那些相关系数：
|A| 的幅度 + ∠B 的相位 |B| 的幅度 + ∠A 的相位 #...........................#... ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .....#######################.... ......###################....... .....#######################.... ......###################....... .....#######################.... .###..#################.#....#.. .....#.#####################.... .###..#################.#....#.. ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... .............######............. ......#############............. .............#####.............. ......#########.###............. ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......###############........... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... ..............####.............. ......####...................... .................#.............. ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................
左边那张，幅度全部来自 F，长得是个 T。右边那张，幅度全部来自 T，长得是个 F。
相位赢了，而且赢得干干净净。把数摆出来：
| 重建图 | 与 F 的相关系数 | 与 T 的相关系数 | 二值化后逐格一致率 |
|---|---|---|---|
| |F| 的幅度 + ∠T 的相位 | 0.4892 | 0.8789 | 与 T 一致 98.93%（与 F 只有 81.54%） |
| |T| 的幅度 + ∠F 的相位 | 0.8789 | 0.3548 | 与 F 一致 98.54%（与 T 只有 80.57%） |
顺带一个漂亮的巧合——其实不是巧合：表里那两个 0.8789 不是「差不多」，是严格相等（本机实算差 2.2 × 10⁻¹⁶）。原因可以在纸上推出来：两个内积都等于 Σ|Ak||Bk|，而归一化用的两个长度也刚好互换（帕塞瓦尔定理保证「换了相位不改变总能量」）。这条恒等式说明，上面那不是一次运气好的实验，是一个结构性的事实。
为什么是相位赢
因为一张图的内容，说到底是边在哪里。而一条边，是很多个不同频率的分量在那个位置上恰好对齐的结果——它们同时到达波峰，叠出一道陡坎。
「在那个位置上恰好对齐」是一句关于相位的话，跟每个分量有多强没什么关系。你可以把所有分量的强度改得面目全非（这正是「换成另一张图的幅度」做的事），只要它们还在原来的位置对齐，那道坎就还在。
反过来，把相位全扔掉会怎样？做一次极端实验：保留 F 的全部幅度，把所有相位设成 0，再变回来：
相位全部置零，逆变换： 最大值落在 (0, 0) ← 图像的左上角那一个像素 与原图 F 的相关系数 −0.156 ← 一点也不像
所有分量都在原点对齐，于是能量全部堆到了那一个点上，剩下的地方基本是零。幅度谱知道「有多少东西」，完全不知道「东西在哪里」；而图像几乎全是关于「在哪里」的。
频谱这个词在日常使用里几乎总是指幅度谱（有时是它的平方，叫功率谱）。这本书里凡是说「谱」而不加限定，指的是完整的复数结果——幅度加相位，一个不少。
这个用词习惯本身就是这一章要讲的事：整个行业默认「谱」等于「幅度」，因为幅度好画（一张实数曲线），相位难画（一个绕来绕去、还带 2π 跳变的东西）。好画不等于重要。
还有一个坑：能量为零的那些格子上，「相位」是没有意义的。本机数了一下，T 的那 1024 个格子里有 183 个能量严格为零（F 有 96 个）——在那些位置上取 atan2(0, 0)，拿到的是各家浮点实现的偶然结果。上面这个实验里如果不先把这些格子挑出来，换一个 FFT 库跑，相关系数的第四位小数就会变。凡是要用相位的地方，先检查那个格子上有没有能量。
这个实验用 numpy 是十行，而且换成你自己的照片会更震撼：
import numpy as np
S = 32
F = np.zeros((S, S)); T = np.zeros((S, S))
F[4:8, 6:25] = 1; F[4:28, 6:10] = 1; F[14:18, 6:21] = 1 # 一个 F
T[4:8, 4:28] = 1; T[4:28, 14:18] = 1 # 一个 T
FA, FB = np.fft.fft2(F), np.fft.fft2(T)
# 能量为零的格子上相位没有意义，先挑出来
def phase(Z):
return np.where(np.abs(Z) < 1e-9 * np.abs(Z).max(), 0.0, np.angle(Z))
ab = np.real(np.fft.ifft2(np.abs(FA) * np.exp(1j * phase(FB)))) # |F| 配 ∠T
def corr(a, b):
a = a.ravel() - a.mean(); b = b.ravel() - b.mean()
return a @ b / np.sqrt((a @ a) * (b @ b))
print('像 F 吗 %.4f 像 T 吗 %.4f' % (corr(ab, F), corr(ab, T)))
# 像 F 吗 0.4892 像 T 吗 0.8789
for row in (ab >= np.sort(ab.ravel())[int(round((1 - T.mean()) * (S*S - 1)))]):
print(''.join('#' if v else '.' for v in row))
换成真实照片（matplotlib.pyplot.imread 读一张灰度图）效果更好：拿你自己的自拍配上一只猫的相位，出来的是猫。这个实验最早出自 Oppenheim 与 Lim 1981 年那篇《The Importance of Phase in Signals》，四十多年了还是最有说服力的一个。
python3 -c "import numpy as np;a=np.random.rand(8,8);A=np.fft.fft2(a);print(np.abs(np.fft.ifft2(np.abs(A))).argmax())"
在线跑：需要 numpy，用 Google Colab 或本机 pip install numpy。纯 JS 版本可以用第 2 章那段绕圈代码套两层循环。
- 晶体学的「相位问题」。这是这一章在现实里最贵的一次出场。X 射线打到晶体上，底片记录的是强度——也就是幅度的平方。相位在测量的那一刻就永久丢失了。而我们真正想要的电子密度，恰恰主要藏在相位里。整个结构生物学花了半个多世纪去发明各种绕开它的办法（同晶置换、反常散射、分子置换），2024 年前后 AlphaFold 一类工具能直接猜出结构，某种意义上也是在替这个丢失的相位补课。
- 音频的变速不变调。把一段录音放慢一倍而不让声音变低沉，标准做法叫相位声码器：把每一小段的幅度谱原样搬过去，把相位按新的时间轴重新推算一遍。做得不好就会出现那种「金属味」「水下感」——那正是相位没接上的声音。
- MP3 反而敢扔相位。因为人耳对单个频率成分的绝对相位极不敏感（把一个和弦里每个音的相位随机打乱，你多半听不出来）。但对相位在时间上的连续性非常敏感——所以音频编码器省相位精度可以，接不上就不行。「相位重不重要」在图像里和在听觉里，答案正好相反。
- 相控阵雷达和 5G 波束赋形。一排天线发同一个信号，只调各自的相位，就能让波束指向任意方向——不需要任何机械转动。整个技术的名字里就写着相位。
「做特征提取的时候取幅度谱就行了，相位是噪声，反正它对平移敏感。」
前半句是行业惯例，后半句是这个惯例的真实理由：相位对平移敏感，扔掉它换来了平移不变性。这在「判断这段音频里有没有人说话」这类任务上是笔划算的买卖。
但代价要说清楚：你同时把「东西在哪里」和「东西之间的相对位置」一起扔了。上面那个实验就是账单——扔掉相位之后，F 和 T 剩下的那点差别，已经不足以决定重建出来的是哪一个字母了。
这也解释了一个常见现象：早期用幅度谱做纹理合成的方法，能造出「材质对了但没有物体」的图；反过来，只保留相位、把幅度全设成 1，出来的图轮廓清清楚楚，只是对比度奇怪。判据是：你的任务关心「有多少」还是关心「在哪里」——关心在哪里，就一个字节的相位都不能扔。
正确答案是 B：像 T。二值化后 98.93% 的格子和 T 对得上，而和 F 只对上 81.54%。
A 「幅度是主要成分」——这个直觉来自「幅度大 = 重要」这种朴素的量级思维，而且被所有画成幅度谱的教材封面加固了一遍。真实情况是：幅度描述的是「这张图整体的粗糙程度」（有多少高频、有多少低频），相位描述的是「具体长什么样」。粗糙程度相同的图有无穷多张。 C 「两者叠在一起」——这个猜测背后是「傅里叶变换是线性的，所以拼起来的东西应该是两者的线性组合」。可惜这个拼装动作本身不是线性的：取模长、取幅角、再重新组装，中间两步都不是线性运算。所以结果不是任何意义上的「平均」。 D 「不对应任何真实图像」——严格说，拼出来的东西确实不保证是一张「合法」的图（逆变换回来可能带虚部、可能有负值，实际上这里取了实部）。但它离「噪声」远得很：与 T 的相关系数 0.8789。幅度可以被换成一张完全不同的图的幅度，而内容还认得出来——这正是这个实验吓人的地方。这个对照是整本书用得最多的一条。到了第 13 章你会看到它的完整版本：时域里的「平移并叠加」（也就是卷积），在频域里就是「逐点相乘」——平移变成乘一个单位复数，叠加变成相加，合起来就是相乘。第 15 章的滤波器、第 16 章的匹配滤波、第 17 章的 FFT，全部是这一条的直接后果。
这一章的一句话
幅度谱告诉你有多少东西，相位谱告诉你东西在哪里；而对绝大多数你真正关心的对象来说，「在哪里」就是全部内容——换脸实验里，相位以 98.93% 对 81.54% 的比分赢下了整张图。
卷 I 到此结束。你现在手里有一台完整的机器：把信号缠到圆上，读出每个转速的长度和方向。
问题是这台机器有一个假设：你能连续地、无限久地看着那个信号。真机器不能——它只能一眼一眼地看，而且只能看有限长的一段。下一卷就是这两条限制的账单，从最反直觉的那一条开始：只要每秒看的次数超过某个门槛，你就一点信息都不会丢。不是「丢得很少」，是一点都不丢——本机实测重建误差 3.86 × 10⁻¹³。