09 窗：拿主瓣换旁瓣

▷ 先猜一下

一段 1024 点的录音，采样率 1000 Hz。里面有两个东西：

一个强音，100.5 Hz（故意挑在两根谱线中间，泄漏最严重的位置）
一个弱音，120 Hz，振幅只有强音的 千分之一（也就是低 60 dB）

问：直接做变换（也就是用矩形窗），120 Hz 那个位置上，弱音会比「强音泄漏过来的本底」高多少 dB？

A 高 60 dB。它就在那儿，一根干净的线，清清楚楚 B 高 20 dB 左右。有点泄漏，但弱音还是明显冒头 C 只高 1.8 dB。基本被埋在强音的泄漏里，肉眼看不出那是一个音 D 完全看不见，它比本底还低

药方：把两头压到零

上一章说，泄漏来自窗口边缘那两个突然的跳变。那就别让它突然：

拿一条中间高、两头缓缓落到零的曲线，去乘你的数据。这样接到窗口边缘的时候，信号已经淡出了，那一刀切在零上——没有跳变，也就没有宽频的东西被造出来。

最常见的那条曲线叫汉宁窗（Hann window），它就是一个抬高了的余弦：

w[n] = 0.5 − 0.5 · cos(2πn / (N−1))      n = 0 … N−1

n=0 时      w = 0          ← 左端严格为零
n=(N−1)/2   w = 1          ← 中间为一
n=N−1       w = 0          ← 右端严格为零

用法：把数据逐点乘上 w，再做变换。就这一步。

本机把这个式子和 numpy.hanning(512) 逐点比过，最大差 4.4 × 10⁻¹⁶；汉明窗和布莱克曼窗同样逐点相同。这一章后面所有的数字，都是用这套与标准实现完全一致的窗算出来的。

价目表

换窗不是免费的。把五种常用窗的四项指标全量出来（512 点窗，64 倍过采样，指标定义见下）：

窗	主瓣全宽	最高旁瓣	扇贝损失	相干增益
矩形（什么都不做）	2.0 格	−13.3 dB	−3.92 dB	1.0000
汉宁 Hann	4.0 格	−31.5 dB	−1.42 dB	0.4990
汉明 Hamming	4.0 格	−42.7 dB	−1.75 dB	0.5391
布莱克曼 Blackman	6.0 格	−58.1 dB	−1.09 dB	0.4192
平顶 Flat-top	10.0 格	−93.0 dB	−0.01 dB	0.2152

从上往下读这张表，一条清清楚楚的交易线：

主瓣越宽  ←────────────────────→  旁瓣越低
（分辨率越差）                    （泄漏越少）

矩形    2 格  /  −13.3 dB      分得最开，糊得最厉害
汉宁    4 格  /  −31.5 dB      主瓣翻倍，换来旁瓣低 18 dB（8 倍）
布莱克曼 6 格  /  −58.1 dB      主瓣三倍，换来旁瓣低 45 dB（180 倍）
平顶   10 格  /  −93.0 dB      主瓣五倍，换来旁瓣低 80 dB（一万倍）

◆ 主线

窗函数只有一个作用：在「分辨率」和「泄漏」之间选一个位置。没有免费的选项，也没有一个万能的窗。

为什么必然是跷跷板，可以在直觉上说清：窗两头压得越狠，边界越平滑，旁瓣越低；但压狠了之后，真正参与计算的有效数据长度就变短了——汉宁窗的相干增益只有 0.4990，意思是它实际上只用上了半个窗的能量。而第 7 章说过，有效时长变短，分辨率就变差。低旁瓣是拿有效观测时长换来的。

把开头那个问题量出来

回到那个「强音旁边藏了一个弱 60 dB 的音」的场景。三种窗各跑一遍：

强音 100.5 Hz，弱音 120 Hz（低 60 dB），1024 点

  窗          120 Hz 处读到    强音泄漏的本底     弱音高出本底
  ────────────────────────────────────────────────────────────
  矩形         −45.6 dB        ⟨−47.4 dB⟩        ⟨ 1.8 dB⟩   ✗ 基本被埋
  汉宁         −60.1 dB          −101.5 dB          41.4 dB    ✓
  布莱克曼      −60.1 dB          −108.9 dB          48.9 dB    ✓

三件事值得看清楚。

第一，矩形窗那一行是灾难。弱音只比本底高 1.8 dB，在任何有噪声的真实数据里，这等于不存在。而且更坏的是：读到的 −45.6 dB 比真值 −60 dB 高了 14 dB——你不但看不见它，就算凑巧注意到了，量出来的大小也是错的。

第二，加窗之后读数变准了。汉宁窗读到 −60.1 dB，真值是 −60 dB。差的那 0.1 dB 是弱音自己的扇贝损失。

第三，布莱克曼比汉宁只多买到 7.5 dB。它的旁瓣低了 27 dB，但在这个场景里没换来同等的收益——因为 120 Hz 离 100.5 Hz 有 19.5 个格子远，汉宁窗的旁瓣在那么远的地方已经衰减得很低了。越贵的窗不是越好，要看你的弱信号离强信号有多近。

✎ 术语正名

表里四个指标，各管一件事，选窗的时候要看的是不同的列：

主瓣全宽：两个等强的音要分开，至少得差这么多格。「我要分辨两个频率」→ 看这一列，选小的。
最高旁瓣：一个强音能在多远处伪造出多高的假峰。「我要在强音旁边找弱音」→ 看这一列，选低的。
扇贝损失：频率碰巧落在两格中间时，峰值读数会偏低多少。「我要量准振幅」→ 看这一列，选接近 0 的（平顶窗 −0.01 dB）。
相干增益：加窗把整体幅度缩小了多少倍。读振幅之前必须除掉它，否则汉宁窗会让你的读数系统性偏小一半。这是加窗最常见的一个实现 bug。

三句话的选窗指南：分辨两个频率用汉宁；在强信号旁边挖弱信号用布莱克曼或更狠的；测振幅用平顶。什么都不知道的时候，汉宁是最安全的默认值——这也是几乎所有软件把它设为默认的原因。

⌨ 自己跑一遍

把价目表和掩蔽实验都跑出来：

import numpy as np

def metrics(w, over=64):
    N = len(w); M = N*over
    sp = np.abs(np.fft.fft(w, M)); peak = sp[0]
    top = 0
    while top+1 < M//2 and sp[top+1] >= sp[top]: top += 1   # 平顶窗的顶是平的
    i = top+1
    while i < M//2 and sp[i] < sp[i-1]: i += 1              # 走到第一个零点
    return (2*(i-1)/over,
            20*np.log10(sp[i:M//2].max()/peak),
            20*np.log10(sp[over//2]/peak))

for name, w in [('矩形', np.ones(512)), ('汉宁', np.hanning(512)),
                ('汉明', np.hamming(512)), ('布莱克曼', np.blackman(512))]:
    m, s, sc = metrics(w)
    print(f'{name:<5} 主瓣 {m:4.1f} 格   旁瓣 {s:6.1f} dB   扇贝 {sc:5.2f} dB')

掩蔽实验（这个更有说服力，因为你会亲眼看到那个弱音「浮出来」）：

N, fs = 1024, 1000
n = np.arange(N)
x = np.cos(2*np.pi*100.5*n/fs) + 0.001*np.cos(2*np.pi*120*n/fs)
for name, w in [('矩形', np.ones(N)), ('汉宁', np.hanning(N))]:
    m = np.abs(np.fft.fft(x*w))
    k = round(120*N/fs)
    print(name, '120 Hz 处 %.1f dB' % (20*np.log10(m[k]/m.max())))

python3 -c "import numpy as np;print(np.hanning(8))"

在线跑：Google Colab。想不写代码就看到效果：Audacity 里「分析 → 绘制频谱」，右下角有个窗函数下拉框，切换它，同一段音频的谱底会整个升降。Harris 1978 那篇经典综述把三十多种窗的指标全列了，上面这张表的数字和它对得上。

▸ 在现实里

频谱分析仪上那个下拉框。任何一台仪器、任何一个音频分析软件，都有这个选项，而且默认多半是汉宁。现在你知道那个框在卖什么了。
音频编码器里的窗。MP3 和 AAC 用的 MDCT 有一个额外的硬要求：相邻两个窗必须能无缝拼回原信号（叫完美重构条件），所以它们用的是专门设计的正弦窗或 KBD 窗，而不能随便挑一个旁瓣低的。这是这一章的交易之外的第三个约束。
雷达的旁瓣抑制。一架大飞机的回波旁瓣可以完全盖住旁边一架小飞机。军用雷达对旁瓣的要求经常到 −60 dB 以下，用的是这一章表里更狠的窗（Kaiser、Dolph–Chebyshev），代价是分辨率变差、检测距离变短。
OFDM 的循环前缀。这是同一个问题的另一种解法：与其把两头压到零，不如把信号的尾巴复制到头上，让这一段在窗口内看起来是严格周期的——那样就回到了第 8 章「情况 ①」那个巧合，泄漏严格为零。代价是浪费了一部分传输时间（典型 7%–25%）。加窗和加循环前缀，是同一个账单的两种付法。

✗ 这个直觉是错的

「加窗是为了让频谱看起来干净一点，属于美化。数据分析要严谨，就应该用原始数据，不加窗。」

「不加窗」这个选项不存在。只要你的数据是有限长的，你就已经加了一个窗——矩形窗。而矩形窗恰好是这张表里旁瓣最高、扇贝损失最大的那一个。

所以真正的选择不是「加不加窗」，而是「用哪个窗」。默认不动，等于主动选了最差的那个。上面那个 1.8 dB 就是这个默认值的价钱。

反过来说，也确实有该用矩形窗的场合，而且理由很硬：当你的信号在窗口里严格周期（比如你自己控制了激励频率，让它整除窗长），矩形窗是最优的——泄漏严格为零（第 8 章那个 8.9 × 10⁻¹² ），分辨率还最好。仪器测试里的「相干采样」就是专门去凑这个条件的。

判据是：问一句「我这段数据的两端接得上吗」。接得上（首尾连成一个周期），用矩形；接不上（绝大多数真实数据），加窗。

◇ 揭晓

正确答案是 C：只高 1.8 dB，基本被埋。换成汉宁窗是 41.4 dB。

A 「它就在那儿，一根干净的线」——这个直觉假设了频谱是线性叠加的，而且各管各的。前半句对（傅里叶确实线性），后半句错：强音在这份数据里不是一根线，它是一整片摊开的东西（第 8 章：99% 能量摊在 41 根谱线上），而 120 Hz 正落在这片东西上面。 B 「有点泄漏但还是明显冒头」——量级估错了。矩形窗的旁瓣从 −13.3 dB 起步、按 1/k 慢慢衰减，在 19.5 格之外还剩下 −47.4 dB。而弱音本身只有 −60 dB。60 dB 是个很大的动态范围（一千倍），而矩形窗的旁瓣能吃掉其中的四十多 dB。 D 「完全看不见」——差一点就对了，但还是差了 1.8 dB。这 1.8 dB 恰恰是最坑人的地方：它确实冒了一点头，所以你会在图上看到 120 Hz 处有个小凸起，然后你会认为自己「看见了」这个弱音——但你量出来的高度是 −45.6 dB，比真值高了 14 dB。看得见但量不准，比完全看不见更容易做出错误结论。

⟳ 换个域看

加窗，是「拿一条钟形曲线去乘我的数据」。看起来像是在破坏数据——两头的样本被压成了零，信息不是丢了吗？同一个动作，是把频谱和一个形状更好的核做卷积：主瓣胖了一倍，旁瓣低了 18 dB。信息确实丢了一点（有效观测时长变短了，分辨率变差），但换来的是每一根谱线不再被远处的强音污染。

这一章是这本书里第一次出现明码标价的交易，而它的结构会在后面重复出现：你想在频域里得到一个更好的形状，就必须在时域里付出一个动作，而那个动作总是「让信号变得不那么理想」。

第 15 章设计滤波器时会看到一模一样的表（那里叫「过渡带 vs 阻带抑制」，用的还是同一批窗）；第 11 章切段做频谱图时会看到它的时间版本。整个卷 III 讲的都是这一件事：频域里没有免费的形状。

这一章的一句话

窗函数只做一件事：在分辨率和泄漏之间挑一个位置——主瓣宽一倍，换旁瓣低一个数量级；而「不加窗」这个选项不存在，你只是默认选了最差的那个。

这一章的交易还是可以谈的：多花点钱（更宽的主瓣）就能买到更低的旁瓣。下一章会遇到一个谈不了的——不管你换什么窗、用什么算法、花多少算力，有一个乘积你永远压不下去。本机拿四个宽度差了十倍的高斯脉冲量了一遍，它们的 σ_t × σ_f 全都等于 0.079577，一位不差。那个数是 1/4π，而它有一个更出名的名字。